Comment prouver les lois des exposants pour différents systèmes numériques, y compris des exposants réels - Stack Mathématiques
Comment pourrais-je prouver suivant les lois des exposants pour ensemble de réel, dans l'ordre donné?
1) $ a ^ m * a ^ n = a ^ $ casei a ^ m = a.a.a. de m facteurs A ^ n = a.a.a. pour n facteurs A ^ ma ^ n = a.a.a. à m + n facteurs a ^ m ^ a n = a ^ (m + n) Je l'ai prouvé pour les entiers positifs mais je ne sais pas comment le prouver pour les entiers négatifs sans utiliser 5)
Mais en utilisant 5) Je l'ai prouvé
Soit n un entier négatif et m un nombre entier positif et m + n> 0 a ^ (m + n) a ^ -n = a ^ (m + nn) = a ^ m [casei] La division par un ^ -na ^ (m + n) = a ^ m / a ^ -n = a ^ ma ^ n
Soit n un entier négatif et m un nombre entier positif et m + n<0 a^-(m+n)*a^m=a^(-m-n+m)=a^-n [Case I] Dividing by a^-(m+n)a^-n a^m/a^-n=1/a^-(m+n) a^m a^n=a^(m+n)
Mais je dois encore prouver pour les cas m, n étant 0, rationnel et réel je l'ai prouvé pour 0 en utilisant 4) m = 0 et n est un entier positif ou négatif LHS = a ^ 0 * a ^ n = 1 * a ^ n = a ^ n RHS = a ^ (0 + n) = a ^ n = LHS RHS
n = 0 et m est un nombre entier positif ou négatif L.H.S = a ^ m * a ^ 0 = a ^ m * 1 = a ^ m R.H.S = a ^ (m + 0) = a ^ m = L.H.S R.H.S
m = 0 et n = 0 L.H.S = a ^ 0 * a ^ 0 = 1 * 1 = 1 R.H.S = a ^ (0 + 0) = a ^ 0 = 1 = L.H.S R.H.S
J'ai donc essayé de les prouver sans 4) et 5) mais je couldn.t le faire et aller de l'avant pour rationnelle et réelle
2) $ \ dfrac = a ^ $ a ^ m = a.a.a. de m facteurs A ^ n = a.a.a. les facteurs de n Soit m> n a ^ m / a ^ n = (a.a.a. à des facteurs de m) / (a.a.a. à n facteurs) = a.a.a. à (m-n) = a ^ facteurs (m-n) pour m
3) $ (A ^ m) ^ n = a ^ $ I a prouvé que pour des nombres entiers positifs (a ^) ^ m n = a ^ ^ M.Un M.Un ^ m. pour n = factrors a ^ (m + m + m +. à n) = a ^ (m * n)
4) $ A ^ 0 = 1 $ Si I se sont avérées 1) pour les nombres entiers négatifs et 5) m = -na ^ -n * a ^ n = a ^ (- n + n) a ^ n / a ^ n = a ^ 0 a ^ 0 = 1
5) $ a ^ = \ $ dfrac Si je prouvé 1) pour les nombres entiers négatifs et 4) m = -na ^ -na ^ n = a ^ (- n + n) a ^ -na ^ n = a ^ 0 = 1 a ^ -n = 1 / a ^ n
Et je ne sais pas faire le reste pour rationals et reals mais prouvé pour les entiers négatifs et positifs 6) $ a ^ = (a ^ p) ^ $
Ici $ a, b, m, n $ sont réels.
Est-il nécessaire que $ a> 0, b> 0 $?
Sont 4) et 5) les définitions utilisées dans les problèmes traitant des indices?
Bien qu'il soit nécessaire de prouver ci-dessus sur l'ensemble de réel, ce qu'on entend par un terme comme $ a ^ $? Est-ce que cela signifie $ a $ est répété $ \ pi fois de $?
De plus, ce qu'on entend par $ un $ ^ n $ est entier positif?
La définition d'une expression $ a ^ x $ pour la base des nombres réels $ a \ gt 0 $ et exposant $ x $ doit précéder toute preuve de lois des exposants, il satisfait.
Nous commençons par les propriétés de l'arithmétique réelle, en particulier la multiplication des nombres réels positifs donne un produit réel positif unique, avec la multiplication réelle étant à la fois associative et commutative.
Puis, comme l'affiche a indiqué, certaines lois des exposants pour nombre entier positif exposants $ x = n $ peut être prouvée par induction, étant donné la définition récursive que $ a ^ 1 = a $ et $ ^ = a \ cdot un ^ n $.
La définition est ensuite étendue à exposants entiers généraux $ x \ in \ mathbb: $ A ^ 0 = $ 1 et $ ^ a = 1 / a ^ n $. Cette définition élargie implique la division, donc noter que nous comptons sur un $ \ gt 0 $ pour la condition spécifique que $ a \ neq 0 $ pour faire la définition valable. L'affiche originale doit noter que les cas où l'exposant $ x $ est un nombre entier négatif sont maintenant exprimés en $ 1 / a ^ n $ où $ n = -x $ est un entier positif.
Diverses lois des exposants sont alors à prouver pour les exposants entiers général, en utilisant les propriétés précédentes des exposants pour des nombres entiers positifs $ x = n $ établie par induction.
La prochaine étape de l'extension de la définition est de nombres rationnels $ x = m / n $ comme exposants. Ici, il est très important que la base $ a \ gt 0 $ depuis $ a ^ $ sera défini comme le principal $ n $ e racine de $ a $, et cette définition repose sur la recherche de b $ uniques \ gt 0 $ tel que $ b ^ n = a $, relative à nouveau revenir au cas des exposants $ n $ qui sont des nombres entiers positifs.
La dernière extension de la définition est le passage d'exposants de nombres rationnels à des exposants de nombres réels. Cette extension est une question de prendre des limites, et il y a une preuve substantielle à fait que $ ^ x $ est bien définie par $ \ lim_ un ^ $ pour une séquence de nombres rationnels $ \ _ ^ \ infty $ tel que $ x = \ lim_ r_k $. Autrement dit, nous devons montrer à la fois que la limite existe et que nous obtenons le même résultat pour $ a ^ x $ quelle que soit la séquence des nombres rationnels convergeant vers $ x $ est utilisé.