Division de factorielles Définition et concept - Vidéo & Transcript Leçon

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Après avoir terminé cette leçon, vous saurez comment utiliser la fonction factoriel et la notation factorielle. Vous pourrez également utiliser factorielles dans la résolution de problèmes, ce qui nécessite souvent la division des factorielles.

Notation et fonction pour factorielles

La fonction factoriel utilise un symbole spécial. et est habituellement montré comme celui-ci, n. Le domaine de n est l'ensemble des nombres naturels. En d'autres termes, n peut être un nombre naturel.

La fonction factoriel n! est le produit de tous les nombres naturels de 1 à n. En symboles, nous pouvons montrer la fonction n. = N * (n - 1) * (n - 2) *. 2 * 1. Il est généralement écrit en ordre ascendant ou descendant, mais cette leçon généralement écrire les facteurs d'un factoriel dans l'ordre décroissant.

Regardons un exemple.

Le zéro est généralement pas inclus dans l'ensemble des nombres naturels, mais 0! pourrait apparaître dans certains problèmes. 0! est simplement défini comme suit:

Division des factorielles

La division de factorielles est exactement ce qu'il dit. Il est un problème de division avec factorielles dans le numérateur et / ou dénominateur. Par exemple, l'expression suivante est une division de factorielles:

Nous allons résoudre ce problème dans un exemple qui vient plus tard dans cette leçon. Regardons d'abord à une voie commune pour l'utilisation factorielles.

Utilisation de la fonction factoriel

fonctions factorielles sont utiles pour déterminer combien de façons un ensemble d'objets peuvent être organisés. L'ordre d'un certain nombre d'objets est appelé une permutation. Disons que nous avons 6 livres différents et que vous voulez déterminer combien de façons nous pouvons organiser ces livres sur une seule étagère.

Il y a 6 choix pour la première place. Pour la deuxième place, 5 choix restent. Par conséquent, chaque livre qui pourrait être le premier point peut être suivi par l'un des 5 livres qui restent ou 6 * 5. Ensuite, il y a 4 choix pour la troisième place, donc 6 * 5 * 4. Cette tendance se poursuit jusqu'à ce que tous les livres sont classés. Il y a 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720 façons d'organiser les 6 livres différents.

Disposition des Six Livres

Cet exemple nous donne une explication à 0! = 1. De combien de façons sont là pour organiser zéro objets? Il y a une façon, qui est l'ensemble vide. Pensez à une bibliothèque vide. Ce serait combien de façons nous pouvons organiser zéro livres.

Division factoriel Permutations

Regardons l'exemple du livre à nouveau. Et si nous voulions organiser seulement 2 des 6 livres sur le plateau? La formule typique pour agencer les objets k d'un groupe de n objets distincts est représenté sur la figure maintenant à l'écran:

Utilisons cette formule pour notre exemple. Nous avons 6 livres différents, donc n = 6. Nous arrangeons seulement 2 des livres, donc k = 2. Branchons ces valeurs dans notre formule:

Si nous écrivons tous les facteurs de chaque factoriel, nous obtenons les éléments suivants:

(6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (4 * 3 * 2 * 1)

Nous pouvons annuler 4 * 3 * 2 * 1 du numérateur et le dénominateur et se retrouve avec 6 * 5, donc notre réponse définitive est 30. En d'autres termes, nous annulons sur 4. Regardons cela d'une autre façon. Nous voulons seulement organiser deux livres, donc nous devons éliminer 4. qui représente le placement des quatre autres livres. Il devrait être évident que le factoriel d'un nombre naturel est un sous-ensemble d'un factoriel d'un plus grand nombre naturel.

Revenons à notre premier exemple, dans lequel nous avons organisé les 6 livres. Si nous utilisons notre formule à la figure 1, on obtient ce qui suit:

6! / (6 à 6) -! = 6! / 0! = 720/1 = 720

Cela montre pourquoi il est pratique pour 0! pour égaler 1.

Combinaison factoriel Combinaisons

fonctions factorielles sont également utiles pour grouper un certain nombre d'objets lorsque l'arrangement ou l'ordre est sans importance. Ces groupes sont appelés des combinaisons non ordonnées.

Utilisons un exemple de pizza pour ce sujet. Nous aimerions commander une pizza à partir d'une pizzeria locale qui offre 9 garnitures différentes. Nous commencer à se demander combien de combinaisons sont possibles si nous choisissons 3 des garnitures. De toute évidence, l'ordre des 3 garnitures n'a pas d'importance parce que les garnitures seront simplement distribués partout dans la pizza (par exemple champignons, olives, poivrons verts sont les mêmes que les olives, les champignons, les poivrons verts).

La formule typique pour identifier le nombre de combinaisons d'objets k d'un groupe de n objets distincts est représenté sur la figure maintenant à l'écran:

Il y a 9 garnitures différentes, donc n = 9. Nous choisissons 3 des garnitures pour notre pizza, donc k = 3. Branchons ceux-ci dans notre formule:

9! / ((9 -! 3) * 3) = 9! / (6! * 3!)

Si nous écrivons les facteurs, nous obtenons les éléments suivants:

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(9 * 8 * 7 * 6!) / (6! * 3 * 2 * 1)

Notez qu'il n'y a pas besoin d'écrire les facteurs de 6! parce qu'ils annulent. On peut réécrire le problème comme suit:

(9 * 8 * 7) / (3 * 2 * 1)

Si nous terminons la multiplication des autres facteurs que nous obtenons 504/6 = 84.

Voyez-vous pourquoi nous avons besoin d'inclure k. dans le dénominateur? Chaque groupe possible de 3 articles peuvent être organisés 3! façons. Si nous ne divisons pas par 3! dans notre exemple de pizza, chaque groupe possible de trois éléments sera organisé 3! façons. Nous voulons qu'une seule façon parce que l'ordre n'a pas d'importance dans ce cas.

Développons sur le problème de la pizza. Disons que nous pourrions aussi choisir entre trois différents types de fromages (en supposant que le fromage est séparé des 9 choix de garniture), et nous voulons sélectionner deux fromages. Le nombre de combinaisons possibles est la suivante:

3! / ((3 -! 2) * 2) = 3! / (1! * 2!) = 6/2 = 3

Enfin, il faut multiplier les combinaisons possibles de trois garnitures avec la combinaison possible de deux fromages pour obtenir une réponse finale de 84 * 3 = 252. De choisir trois garnitures et deux fromages, il y a 252 différents types de pizza que nous pouvons commander!

Revoyons ce que nous avons appris. Rappelons d'abord que n! est le produit de tous les nombres naturels de 1 à n et que la division du factorielles est un problème de division avec factorielles dans le numérateur et / ou du dénominateur. Il est souvent une question d'éliminer les facteurs communs entre le numérateur et le dénominateur d'une fraction. factorielles communs peuvent être éliminés de la même manière que d'autres facteurs communs tels que les entiers. La division de factorielles est une opération commune pour résoudre des problèmes tels que les permutations. qui impliquent l'ordre d'un certain nombre d'objets; et des combinaisons. qui impliquent le regroupement d'un certain nombre d'objets lorsque l'arrangement ou l'ordre est sans importance.

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