La différence Quotient Le pont entre l'algèbre (pente) et calcul (la dérivée)
L'une des pierres angulaires du calcul est le quotient de différence. Le quotient de différence - le long des limites - permet de prendre la formule de pente régulière vieux que celui utilisé pour calculer la pente des lignes dans la classe d'algèbre et de l'utiliser pour la tâche de calcul consistant à calculer la pente (ou dérivé) d'une courbe. Voici comment cela fonctionne.
Dans l'exemple suivant, vous voulez trouver la pente en un point de la parabole.
Pour calculer la pente, il faut deux points pour brancher dans cette formule. Pour une ligne, cela est facile. Vous choisissez deux points sur la ligne et les brancher.
Vous pouvez voir la tangente à la courbe à (2, 4), et parce que la pente de la droite tangente est la même que la pente de la parabole à (2, 4), tout ce que vous avez besoin est la pente de la tangente ligne. Mais vous ne savez pas l'équation de la ligne tangente, de sorte que vous ne pouvez pas obtenir le deuxième point - en plus (2, 4) - que vous avez besoin pour la formule de la pente.
Voici comment les inventeurs du calcul obtenu autour de ce barrage routier.
La figure ci-dessus est le graphe de y = x 2 avec une ligne tangente et une ligne sécante. Elle montre la ligne tangente à nouveau et une ligne sécante coupant la parabole au (2, 4) et en (10, 100).
Une ligne sécante est une ligne qui coupe la courbe en deux points. C'est un peu trop simpliste, mais ça va le faire.
La pente de cette ligne sécante est donnée par la formule de la pente:
Vous pouvez voir que cette sécante est un peu plus raide que la ligne tangente, et donc la pente de la sécante, 12, est supérieure à la pente que vous recherchez.
Maintenant ajouter un point (6, 36) et dessiner une autre sécante en utilisant ce point et (2, 4) à nouveau. Voir la figure ci-dessus.
Calculer la pente de cette deuxième sécante:
Vous pouvez voir que la pente de cette sécante est une meilleure approximation de la pente de la droite tangente à la pente de la première sécantes était.
Maintenant, imaginez ce qui se passerait si vous avez pris le point (6, 36) et se laissa glisser vers le bas de la parabole vers (2, 4), en faisant glisser la sécante avec elle. Pouvez-vous voir que le point se rapproche et plus proche (2, 4), la sécante se rapproche et plus proche de la ligne tangente, et que la pente de cette sécante obtient ainsi de plus en plus proche de la pente de la tangente?
Ainsi, vous pouvez obtenir la pente de la tangente si vous prenez la limite de la pente de cette sécante mobile.
Voici donc la limite dont vous avez besoin:
Regardez ce qui arrive à cette limite lorsque vous branchez trois points sur la parabole qui sont plus proches et plus proche (2, 4):
Lorsque le point glisse à (2,01, 4,0401), la pente est 4.01
Lorsque le point glisse à (2.001, 4,004001), la pente est 4,001
Bien sûr, comme le look pente est dirigée vers 4.
Comme avec tous les problèmes de limites, la variable dans ce problème, la course. approches, mais devient jamais réellement à zéro. S'il est arrivé à zéro - ce qui se passerait si vous fait glisser le point que vous empoigné le long de la parabole jusqu'à ce qu'il était en réalité au-dessus de (2, 4) - vous auriez une pente de 0/0, ce qui est indéfini. Mais, bien sûr, c'est précisément la pente que vous voulez - la pente de la ligne lorsque le point fait la terre au-dessus de (2, 4). est là que réside la beauté du processus limite.
Et la pente de la droite tangente est - vous l'aurez deviné - le dérivé.
La dérivée d'une fonction, f (x), à un certain nombre x = c. écrite en tant que f »(c), est la pente de la droite tangente à f tracée à c.
Jetez un oeil à la figure suivante, qui montre comment une limite produit la pente de la droite tangente à (2, 4).
Faire le calcul vous donne, enfin, la pente de la ligne tangente à (2, 4):
Ainsi, la pente est 4. (Soit dit en passant, il est une coïncidence sans signification que la pente (2, 4) se trouve être le même que y -Coordonner du point.)