Résolution quadratiques Factoring et remplir la place - Elle aime Math
Cette section couvre:
Notez que la différence d'affacturage de cubes, et plus affacturage de pointe, y compris l'affacturage avec Exponents se trouvent ici dans la section expressions rationnelles et fonctions et la résolution par l'article Factoring.
Encore une fois, il y a plusieurs façons de résoudre quadratiques, ou trouver la solution (également connue sous le nom x -intercepts, des racines, des zéros ou des valeurs) à une équation du second degré. (Rappelez-vous que nous résolvons les équations du second degré le plus facilement en obtenant tout d'un côté du signe égal, qui fixe le second degré à 0).
Dans la section quadratiques, nous avons appris deux façons de résoudre quadratiques:
Dans cette section, nous allons parler de deux autres façons:
- Les facteurs de factoring et mise à 0 (il y a plusieurs façons de facteur, mais tout ne peut pas être pris en compte)
- Compléter le carré et la racine carrée de chaque côté (une façon où nous ne devons pas régler le second degré à 0!)
Notez qu'il ya plus d'informations sur l'affacturage dans la Solving par l'article Affacturage ici.
Nous apprendrons également d'autres méthodes d'affacturage polynomiale de base, comme prendre les plus grands facteurs communs (GCF) de polynômes et d'affacturage la différence de deux carrés et d'affacturage parfait trinômes carrés.
Pensez à l'affacturage juste « tirer à part » les choses qui se multiplient ensemble. Il est le même principe d'affacturage 35 et obtenir 5 et 7. Lorsque nous prenons en algèbre, nous faisons la même chose, mais avec des variables.
NOTE: Rappelez-vous que lorsque nous prenons en compte, nous voulons régler chaque facteur avec une variable à 0, et à résoudre pour la variable pour obtenir les racines. En effet, tout facteur qui devient 0 rend l'ensemble expression 0. (Ceci est la propriété du produit zéro. Si ab = 0, que a = 0 et / ou b = 0).
Notez que peut être pris en compte ne sont pas tous du second degré; si elle ne peut pas, nous devons utiliser l'une des autres méthodes.
Mais nous allons apprendre les techniques d'affacturage afin que nous puissions résoudre les équations du second degré qui peuvent être prises en compte; il est un moyen assez simple de les résoudre. Et plus tard, quand nous apprenons comment résoudre polynômes plus génériques dans la section et la résolution graphique polynomiale fonctions, nous savons comment factoriser!
En prenant le plus grand commun diviseur (PGCD)
Donc, nous allons d'abord commencer par polynômes qui ont besoin d'affacturage simple. Nous avons toujours besoin de tirer le GCF (coefficients les plus élevés / variables qui entrent dans tous les termes) en premier. (Nous avons appris sur le GCF avec des numéros réguliers dans la multiplications et divisions Section ici.)
Rappelez-vous des Radicaux et dans Exponents section Algèbre que nous ajoutons des exposants quand on multiplie avec la même base, et soustrayez exposants quand nous divisons avec la même base.
Voici quelques exemples de polynômes d'affacturage en prenant le GCF sur:
Voyez comment il est renversant la propriété distributive? Il est « undistributing ». Et il est toujours une bonne idée de se multiplier en arrière pour vérifier vos réponses!
Factorisation Trinômes (quadratiques)
Lorsque l'on tient compte quadratiques, nous essayons de « unfoil » pour obtenir deux binômes. Encore une fois, rappelez-vous que si l'on tient trinômes, nous avons toujours besoin de prendre d'abord de tout GCF!
Voici quelques méthodes que nous utilisons:
Devinez et vérifiez
« Devinez et Check » est tout ce que cela; nous avons certaines règles, mais nous essayons de combinaisons pour voir ce qui fonctionne.
Commençons par un exemple; nous allons « UNFOIL » ou d'un facteur un des premiers exemples que nous avons travaillé dans quadratiques. Voici comment nous FOIL'ed, et comment nous « UNFOIL »:
Donc, si nous devions résoudre ce trinôme, nous fixons les facteurs égaux à zéro:
Notez les signes quand vous « unfoil »; multiplier ces arrière pour vous assurer qu'ils fonctionnent:
Parfois, il est plus facile et plus visuelle si vous utilisez un « X » lorsque vous commencez à tenir ceux-ci; nous allons d'abord montrer quand il n'y a pas de nombres (coefficients) avant le terme x 2. Nous pouvons mettre le coefficient de moyen terme sur le dessus, le terme constant (pas variable) sur le fond, puis utilisez les deux côtés pour trouver 2 numéros multipliés ensemble pour correspondre au fond. mais additionnées pour égaler le haut.
Essayons une autre qui est un peu plus compliqué.
Notez encore que pour rendre l'affacturage plus facile, nous voulons toujours le facteur le GCF hors du polynôme avant « unfoil ».
Produits spéciaux de binômes - facilement factoré
Il y a deux cas particuliers où vous pouvez utiliser un raccourci pour tenir compte des trinômes: différence de deux carrés et carré parfait trinômes. Nous avons vu ces derniers dans l'introduction à l'article Polynomials dans la table.
Voici les deux cas et la façon de les tenir compte:
Procédé de groupement ou de la méthode « ac »
Nous tournons le trinôme en second degré avec quatre termes, pour être en mesure de faire le regroupement. Ensuite, nous devons trouver un modèle de binômes afin que nous puissions utiliser la propriété distributive pour les mettre ensemble (comme un casse-tête!).
Regardons le même problème que ci-dessus (avec 2 déjà pris, mais gardons les y « s à la fin):
Utilisons notre « X » pour nous aider à résoudre par la méthode de regroupement.
Nous pouvons mettre le coefficient de milieu terme (-11) sur la partie supérieure du « X », mais cette fois nous multiplier les coefficients première et la dernière (4 x 7 = 28) et le mettre sur la partie inférieure d'un « X ». Rappelez-vous que le signe d'un terme elle est saisie. et prêter attention aux signes.
Donc, puisque nous avons constaté que -4 et -7 « travail », on peut réécrire le trinôme et séparer le moyen terme, afin que nous puissions faire un groupe et le facteur avec la méthode de regroupement:
Regroupement Méthode avec quatre termes
Voici quelques exemples de la méthode de regroupement quand on commence avec 4 termes. Notez que le premier est un quadratique et le second terme 4 est un polynôme cubique qui comprend la factorisation de la différence des carrés.
Notez que ayant quatre termes de facteur ne fonctionne pas toujours avec la méthode de regroupement ci-dessus; parfois nous devons chercher des différences de carrés (parfois combinées avec la méthode de regroupement):
La méthode Box
Encore une méthode qui devient populaire est appelée la méthode « boîte ». Ceci est une version modifiée de la méthode « alternative », mais nous utilisons des facteurs plus communs (GCF) pour nous aider à facteur.
Nous avons mis le premier terme dans le coin supérieur gauche, le dernier terme dans le coin en bas à droite, et on divise le moyen terme dans les deux coins restants afin qu'ils ajoutent à moyen terme. et sont des facteurs de la première fois à terme le dernier terme (donc, la méthode « ac »). Vous pouvez mettre les moyens termes (en haut à droite et coins inférieurs gauche) dans l'ordre, mais assurez-vous que les signes sont corrects afin qu'ils ajoutent à moyen terme.
Si vous avez configuré correctement la boîte, les diagonales devraient se multiplier au même produit.
Ensuite, nous obtenons les GCFs à travers les colonnes et les lignes vers le bas, en utilisant la samesign de la boîte la plus proche (cases soit à gauche ou en haut).
Remarque. quand nous faisons la méthode de la boîte, nous devons nous assurer que le x 2 a un coefficient positif; autrement, nous devons prendre le négatif à travers les trois termes, faire l'affacturage, puis mettre le négatif à l'avant de la réponse factoré.
La méthode « ac » sans groupement
Ce que nous voulons faire pour la méthode de la racine carrée est de faire une place sur le côté avec la variable, et déplacer les nombres (constantes) de l'autre côté, afin que nous puissions prendre la racine carrée des deux côtés. Ensuite, nous ne devons pas utiliser l'équation du second degré, ou « unfoil » à résoudre.
Nous allons d'abord penser à ce qui se passe quand on place, un binomial en regardant:
(Nous avons d'abord vu ces trinômes carrés parfaits dans Introduction à Polynomials.)
Puisque nous ajoutons le produit des conditions du milieu, nous avons deux fois deux fois le produit de la première (x) et deuxième (3) termes au milieu (pour obtenir 6x). Voir aussi la façon dont nous avons la place du second terme (3) à la fin (9).
Donc, pour compléter le carré d'un trinôme qui n'est pas un carré parfait, nous devons réduire de moitié le second terme et de prendre la place de celui-ci - et puis ajouter ce numéro afin que le peut être complet carré. Ensuite, nous devons nous assurer d'ajouter la même chose à l'autre côté.
Ensuite, nous prenons la racine carrée de chaque côté. rappelons que nous devons inclure plus et moins du côté droit, puisque par définition, la racine carrée est juste le positif. Une autre façon de penser est la valeur absolue du côté gauche à la droite. donc nous devons inclure plus et moins du côté droit.
Voici un qui est un peu plus délicat, en raison du radical du coefficient de x.
Fin de la place pour obtenir Vertex Form
Si vous êtes donné les x -intercepts (racines), vous pouvez aussi le mettre sous forme factorisée. et utiliser un autre point (pas une des racines) pour trouver la « une » partie de l'équation. Rappelez-vous que le « a » dans les trois formes (standard, affacturées et sommet) sera le même.
Voici quelques exemples:
Voici un autre type de problème que vous pourriez voir où vous devez écrire une fonction donnée Quadratique axe de symétrie et deux points non-Vertex d'un Parabole. Notez que nous devons utiliser un système d'équations:
Encore une fois, voici les différentes formes de quadratiques ainsi que les méthodes de recherche de racines de quadratiques.
Remarque. Parfois, nous aurons une quadratiques sous forme de sommet « presque » et jouer avec elle pour l'obtenir sous forme de sommet. Par exemple, si nous avons \ (y = -8x + 2> \ right)> ^> + 3 \) et que vous voulez changer à la forme de sommet, nous pouvons prendre le coefficient de x et faire un peu de l'algèbre: \ (y = -8x + 2> \ right)> ^> + 3 = -8> \ right) \ left (\ right)> \ right)> ^> + 3 \) \ (= - 8> \ right)> ^> \ right)> ^> + 3 = -2 \ right)> ^> + 3 \), de sorte que le sommet est (-4, 3).
Apprenez ces règles et la pratique, la pratique, la pratique!
Pour s'entrainer. Utilisez le widget Mathway ci-dessous pour essayer un problème de factorisation. Cliquez sur Soumettre (la flèche bleue à droite du problème) et cliquez sur le facteur pour voir la réponse.
Vous pouvez également saisir votre propre problème, ou cliquez sur les trois points dans le coin supérieur droit et cliquez sur « Exemples » pour forer vers le bas par sujet.
Si vous cliquez sur Touchez pour afficher les étapes. ou cliquez ici. vous pouvez vous inscrire à Mathway pour un essai gratuit. puis passer à un abonnement payant à tout moment (pour obtenir tout type de problème mathématique résolu!).
À Quadratique Inégalités - vous êtes prêt!
19 réflexions sur « Résolution quadratiques par Factoring et remplir la place »
Salut!
Merci beaucoup pour vos questions et nous espérons que cela aide. Le terme x « disparaît » parce que si vous deviez Foil (multiplier) il revenir en arrière, il serait là. Ainsi, par exemple (x + 1) ^ 2 n'a pas vraiment un terme x, mais x ^ 2 + 2x + 1 fait. Donc, lorsque vous ajoutez le carré en binome (comme (x + 1) ^ 2), le terme x est là - mais vous ne voyez pas.
merci beaucoup factorisation en complétant méthode des moindres carrés est fait pour moi