A Gentle Introduction à l'apprentissage Calcul - BetterExplained
J'ai un amour / haine relation avec le calcul: il démontre la beauté des mathématiques et l'agonie de l'enseignement des mathématiques.
Calcul concerne les sujets dans une manière élégante et cerveau-flexion. Mon analogie la plus proche est la théorie de l'évolution de Darwin: une fois compris, vous commencez à voir la nature en termes de survie. Vous comprenez pourquoi les médicaments conduisent à des germes résistants (de survie des plus aptes). Vous savez pourquoi doux goût de sucre et de matières grasses (encourager la consommation d'aliments riches en calories dans les temps de disette). Tout va ensemble.
Calcul est tout aussi instructif. Ne pas ces formules semblent liées d'une certaine façon?
Elles sont. Mais la plupart d'entre nous apprennent ces formules indépendamment. Calcul nous permet de commencer par « circonférence = 2 * pi * r » et comprendre les autres - les Grecs auraient apprécié cela.
Malheureusement, le calcul peut résumer ce qui est mal à l'enseignement des mathématiques. La plupart des leçons comportent des exemples, preuves contrived Arcane, et que le corps SLAM mémorisation notre intuition - l'enthousiasme.
Il ne devrait vraiment pas être de cette façon.
Mathématiques, l'art et des idées
Je l'ai appris quelque chose de l'école: Math n'est pas la partie difficile des mathématiques; la motivation est. Plus précisément, rester encouragé malgré
- Les enseignants se concentrèrent davantage sur l'édition / périssant que l'enseignement
- Autoréalisatrice prophéties que les mathématiques est difficile, ennuyeux, impopulaires ou « non sujet »
- Les manuels scolaires et les curriculums plus concernés par les bénéfices et les résultats des tests que aperçu
« ... si je devais concevoir un mécanisme dans le but exprès de détruire une curiosité naturelle de l'enfant et l'amour du patronnage, je ne pouvais pas faire un aussi bon travail comme le fait actuellement - je aurais tout simplement pas l'imagination de trouver le genre d'idées insensées, âme-écrasement qui constituent l'enseignement des mathématiques contemporaines « .
La poésie est similaire. Imaginez étudier cette citation (formule):
« Cela concerne avant tout le monde: à toi-même être vrai, et il doit suivre, comme la nuit suit le jour, tu ne seras faux à tout homme. » -William Shakespeare, Hamlet
Il est une façon élégante de dire « être soi-même » (et si cela signifie l'écriture irrévérencieusement sur les mathématiques, ainsi soit-il). Mais si cela était classe de mathématiques, nous serions compter les syllabes, l'analyse de la pentamètre iambique et cartographier le sujet, le verbe et l'objet.
Mathématiques et la poésie sont pointer du doigt la lune. Ne confondez pas le doigt pour la lune. Les formules sont des moyens à une extrémité. une façon d'exprimer une vérité mathématique.
Nous avons oublié que les mathématiques sont sur les idées, ne manipule pas les formules qui robotically les expriment.
Ok Bub, quel est votre idée?
Au lieu de cela, nous allons partager les connaissances de base du calcul. Les équations ne sont pas assez - je veux que les moments « aha! » Qui font tout clic.
langage mathématique formelle est une seule façon de communiquer. Des diagrammes, des animations et simplement fournir plaine talkin’ peuvent souvent plus de données qu'une pleine page de preuves.
Mais le calcul est difficile!
Je pense que tout le monde peut apprécier les idées de base de calcul. Nous ne devons pas être des écrivains pour profiter Shakespeare.
Il est à votre portée si vous savez que l'algèbre et ont un intérêt général en mathématiques. Il n'y a pas longtemps, la lecture et l'écriture étaient le travail des scribes formés. Pourtant, aujourd'hui, qui peut être manipulé par un enfant de 10 ans. Pourquoi?
Parce que nous nous attendons. Les attentes jouent un rôle énorme dans ce qui est possible. Attendez-vous donc que le calcul est juste un autre sujet. Certaines personnes entrent dans la débrouille (les auteurs / mathématiciens). Mais le reste d'entre nous peut encore admirer ce qui se passe, et d'élargir notre cerveau le long du chemin.
Il est de savoir jusqu'où vous voulez aller. J'aimerais pour tout le monde à comprendre les concepts de base du calcul et dire « whoa ».
Alors, quel est le calcul au sujet?
Certains définissent le calcul comme « la branche des mathématiques qui traite des limites et la différenciation et l'intégration des fonctions d'une ou plusieurs variables ». Il est correct, mais pas utile pour les débutants.
Voici mon: Calcul fait à l'algèbre ce que l'algèbre a fait à l'arithmétique.
Arithmétique est sur les chiffres de manipulation (addition, multiplication, etc.).
L'algèbre trouve des motifs entre les chiffres. a ^ 2 + b 2 = c ^ 2 est une relation connue, décrivant les côtés d'un triangle rectangle. L'algèbre trouve des ensembles complets de nombres - si vous connaissez a et b, vous pouvez trouver c.
Calcul trouve des motifs entre les équations. vous pouvez voir comment une équation (circonférence = 2 * pi * r) se rapporte à un semblable (zone = pi * r ^ 2).
En utilisant le calcul, on peut poser toutes sortes de questions:
- Comment une équation grandir et rétrécir? Accumuler au fil du temps?
- Quand est-il atteint son plus haut / point le plus bas?
- Comment pouvons-nous utiliser des variables qui sont en constante évolution? (Chaleur, le mouvement, les populations, ...).
- Et bien plus encore!
Algèbre - le calcul est un duo de résolution de problèmes: le calcul trouve de nouvelles équations, et algèbre les résout. Comme l'évolution, le calcul élargit votre compréhension de la façon dont fonctionne la nature.
Un exemple, S'il vous plaît
Marchons la promenade. Supposons que nous savons l'équation de la circonférence (2 * pi * r) et que vous voulez trouver la zone. Que faire?
Sachez qu'un disque rempli en est comme un ensemble de poupées russes.
Voici deux façons de dessiner un disque:
La quantité de « l'espace » (zone) devrait être le même dans chaque cas, non? Et combien d'espace n'utilise un anneau?
Eh bien, l'anneau très grand a un rayon « r » et une circonférence 2 * pi * r. Comme les anneaux rapetissent leur circonférence se rétrécit, mais il conserve le modèle de 2 * pi * rayon actuel. La bague finale est plus comme une pointe d'épingle, sans circonférence du tout.
Maintenant, voici où les choses deviennent funky. Faisons déroulez les anneaux et les aligner. Ce qui se produit?
- Nous obtenons un tas de lignes, ce qui rend un triangle en dents de scie. Mais si nous prenons des anneaux plus minces, ce triangle devient moins en dents de scie (plus à ce sujet dans les prochains articles).
- Un côté a l'anneau le plus petit (0) et l'autre côté est le plus grand anneau (2 * pi * r)
- Nous avons des anneaux allant de 0 à rayon jusqu'à « r ». Pour chaque rayon possible (0 à r), nous plaçons simplement la bague à cet endroit déroulé.
- La surface totale du « triangle de la bague » = 1/2 socle * Hauteur = 1/2 * r * (2 * pi * r) = pi * r ^ 2, qui est la formule de la région!
Yowza! La superficie totale des anneaux = la zone du triangle = surface du cercle!
Ce fut un exemple rapide, mais avez-vous attraper l'idée clé? Nous avons pris un disque, il se sépare, et de mettre les segments ensemble d'une manière différente. Calcul nous a montré qu'un disque et anneau sont intimement liés: un disque est vraiment juste un tas d'anneaux.
Ceci est un thème récurrent dans le calcul: De grandes choses sont faites de petites choses. Et parfois les petites choses sont plus faciles à travailler avec.
Une note sur des exemples
De nombreux exemples de calcul sont basées sur la physique. C'est super, mais il peut être difficile de raconter: honnêtement, à quelle fréquence vous savez l'équation pour la vitesse d'un objet? Moins d'une fois par semaine, si cela.
Je préfère commencer par des exemples physiques, visuels parce que c'est la façon dont nos esprits fonctionnent. Cette chose bague / cercle nous avons fait? Vous pouvez construire sur plusieurs produits de nettoyage de tuyaux, les séparer et les redresser dans un triangle brut pour voir si le calcul fonctionne vraiment. C'est tout simplement pas se produire avec votre équation de vitesse.
Une note sur la rigueur (pour les geeks mathématiques)
Je peux sentir les pédants mathématiques tirant leurs claviers. Juste quelques mots sur la « rigueur ».
Saviez-vous que nous n'apprenons pas la façon dont le calcul Newton et Leibniz a découvert? Ils ont utilisé des idées intuitives de « fluxions » et « infinitésimales », qui ont été remplacées par des limites parce que « Bien sûr, cela fonctionne dans la pratique. Mais ça marche en théorie? ».
Nous avons créé des constructions mécaniques complexes « rigoureusement » prouver le calcul, mais nous avons perdu notre intuition dans le processus.
Nous cherchons à la douceur du sucre à partir du niveau de chimie du cerveau, au lieu de la reconnaître comme la façon naturelle de dire « Cela a beaucoup d'énergie. Mange le."
Je ne veux pas (et ne peut pas) enseigner un cours d'analyse ou de former des chercheurs. Serait-il si mauvais si tout le monde a compris le calcul au niveau « non rigoureux » que Newton a fait? Cela a changé la façon dont ils ont vu le monde, comme il l'a fait pour lui?
L'accent sur la rigueur prématurée dissuade les étudiants et les mathématiques rend difficile à apprendre. Exemple: e est techniquement définie par une limite, mais l'intuition de la croissance est la façon dont il a été découvert. Le journal naturel peut être considéré comme une intégrale, ou le temps nécessaire pour se développer. Quelles explications aident les débutants plus?
Faisons FingerPaint un peu, et entrer dans la chimie le long du chemin. maths heureux.
(PS: Un lecteur de genre a créé un diaporama powerpoint animé qui aide à présenter cette idée plus visuellement (meilleure vue dans PowerPoint, en raison des animations) Merci.!)
Note: Je l'ai fait une série de calcul toute première intuition, dans le style de cet article:
Enregistre-moi! Je l'ai fait tout ce que « aire sous la courbe » folle des choses à l'école, mais n'a jamais compris comment cela fonctionnait vraiment. y = 2x ^ 2 => dy / dx = 4x ... sûr, mais ce que le diable se passe. Ils me ont perdu lorsque les sinus et cosinus a rejoint le parti de calcul.
Je suis néanmoins resté intéressé par les mathématiques au cours des 20 années écoulées depuis, et voici la fissure: votre article est brillant. Je ne peux absolument obtenir ce que vous parlez. Votre exemple de cercle est de la dynamite, et je trouve aussi l'idée que le calcul « trouve des motifs entre les équations » très intuitives.
Continuez le bon travail.
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il y a 9 ans 2 mois
Je ne l'ai jamais fait le calcul parce que je détestais les maths ... mais de toute façon je comprends cela.
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il y a 4 mois 11 jours
Il est vraiment dommage que les mathématiques de façon est présentée crée une impression négative de l'école primaire sur. Conceptuellement, il est beau et élégant et explicatif et tout-englobante. Si j'avais été présenté aux mathématiques sous cette forme quand j'étais plus jeune, je l'aurais probablement été accroché alors.
Mes moments préférés dans les classes horribles de mathématiques à l'école secondaire et secondaire serait quand l'enseignant digression et juste parler de la nature de zéro ou l'infini ou d'autres concepts intéressants. Bien sûr, l'enseignant se terminerait généralement avec quelque chose comme: « Eh bien, de toute façon, de revenir sur le sujet ... » et reprendre avec une preuve lourde.
Je ne dis pas qu'une présentation conceptuelle des mathématiques doit précéder les nécessités de l'école primaire de base comme l'arithmétique, mais il devrait certainement avoir sa place. En déformant la nature élégante des mathématiques, nous limitons les étudiants qui autrement commencer à se intéresser.
Encore une fois, grand article!
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il y a 9 ans 2 mois
J'aime ces sortes d'exemples pour les personnes qui ont jamais vu avant le calcul parce que, honnêtement, le sujet est difficile. Donnez-moi un étudiant supérieur à la moyenne et je peux leur enseigner les bases du calcul en moins d'une semaine.
Mais il est rarement les bases que les gens. Ces méthodes, après tout, ont été comment le calcul développé jusqu'à dans le milieu du 19e siècle - un delta ou un epsilon naire en vue.
Donc, la seule mise en garde est que si ces méthodes pourraient être intuitives et aider les gens juste calcul d'apprentissage, il y a des limites à laquelle ce type de raisonnement tombe en panne et nous ne pouvons pas concilier ce qui est vrai avec ce que notre intuition dit est vrai.
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il y a 9 ans 2 mois
Être un ingénieur, je comprends la douleur un étudiant naïf passe par quand il est alourdi avec une charge de camion de livres Calcul ayant des tonnes de théorèmes, preuves et nombre inimaginable de questions étranges qui ont absolument aucune pertinence dans le monde réel!
Je se classaient bien dans mes sujets techniques, mais je ne ai jamais mathématiques vraiment compris le point d'apprendre ce genre de choses. Zut, je ne me souviens même pas la moitié maintenant.
Je souhaite que nous ayons quelqu'un comme vous qui pourrait peindre une telle image merveilleuse et rendre le sujet plus pertinent pour les élèves.
Je me réjouis de ce que l'article que vous venez avec à côté de la série.
(BTW, où êtes-vous? Je wud aime rencontrer un génie comme vous un jour!)
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Et comme vous l'avez dit, l'utilisation de x (entrée) et y (sortie) sont des conventions. Donc, la façon régulière serait de dire l'équation est vraiment 2 * pi * x, où x est le rayon (jamais l'esprit que nous l'avons toujours appris que 2 * pi * r). dy / dr est une façon parfaitement bien de le dire aussi.
Une chose intéressante sur l'intégration est de voir comment quelque chose qui ne « ressemble » une courbe (un tas d'anneaux) peut être tordu dans un format qui.
Ces discussions secondaires que vous évoquez peut être génial - il met en évidence le côté de la découverte des mathématiques. Pour chaque équation, il y avait quelqu'un de voir pour la première fois et en disant « whoa ».
Mais si nous avons commencé avec la relativité et quantique nous perdrions tout le monde le long du chemin.
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il y a 9 ans 2 mois
Quoi qu'il en soit, le point est que le calcul trouve des connexions similaires / thèmes sous-jacents entre les mathématiques - il y a de belles raisons (simples) pourquoi les formules sont liées.
Sans calcul, la similitude dans les équations ressemble à une heureuse coïncidence, un peu comme « le sucre est le goût des aliments sucrés et gâté mauvais » peut sembler une coïncidence heureuse sans la théorie de l'évolution. Espérons que cela aide à clarifier ce que je voulais dire.
Vous pouvez certainement obtenir une poignée sur les mathématiques - je crois vraiment que c'est une compétence comme l'écriture. Il était une fois, tout le monde pensait la lecture - écriture était « dur » et seulement pour les scribes; tout le monde aujourd'hui fait.
La partie la plus difficile sur les mathématiques peut être rester intéressé et garder votre motivation, alors accrochez-vous! En voyant comme une autre façon de parler d'une idée peut aider à obtenir la grande image. Et vous avez raison, quand vous obtenez, même la résolution d'équations gigantesques peut être amusant :).
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il y a 9 ans 2 mois