A Utilisation pratique pour les logarithmes, Partie 2 Comment nous Multiplié grands nombres 40 ans auparavant, et comment

(Cliquez ici pour la partie 1.)

Un argument commun pour l'utilisation de la technologie est qu'elle permet aux élèves de faire des calculs ennuyeux, fastidieux, et ils peuvent attirer l'attention sur les questions conceptuelles plus intéressantes et stimulantes. C'est faux. La maîtrise de calculs va souvent main dans la main « fastidieux » avec un lien profond avec des idées mathématiques importantes. Et c'est ce que les mathématiques est tout au sujet, est-ce pas?

Le désir d'étudiants libres de questions techniques ennuyeux est une fausse dichotomie: Maîtriser la technique et la compréhension conceptuelle profonde vont main dans la main, et il n'y a absolument aucune raison pour laquelle on ne peut pas travailler sur les deux en tandem. C'est ce que les élèves de musique font: Pour apprendre à jouer un instrument de musique, il faut passer un certain temps chaque jour sur la théorie et de la technique, et une certaine quantité de temps chaque jour pratiquer des morceaux de musique, le développement de la musicalité, et ainsi de suite. Essayer de prendre un raccourci en ne faisant pas les échelles chaque jour est mortelle pour un étudiant en musique; ne peut pas, nous voyons que le même genre de raccourci est mortelle pour un étudiant en mathématiques, aussi?

Alors vous reprendre, le dos, le dos, ... à une époque où peu moi et mes petits camarades de classe avaient pas calculettes. Permettez-moi de vous montrer la technique que nous avons appris à multiplier un grand nombre, et ensuite nous définirons une connexion aux mathématiques supérieures.

La technique dépend d'une propriété de logarithmes:

La lecture de la table des chiffres proches de A:

Maintenant, si l'on en interpolation linéaire entre ces deux chiffres, pour une plus grande précision, on obtient l'approximation

La lecture de la table des chiffres proches de B:

Maintenant, si l'on en interpolation linéaire entre ces deux chiffres, pour une plus grande précision, on obtient l'approximation

Ensuite, nous utilisons la propriété des logarithmes mentionnées plus haut pour estimer le logarithme de AB:

Le processus d'ajout logarithmes est très facile. et ceci est le point de la méthode. Nous avons pris un problème relativement complexe (multiplication de deux nombres qui ont beaucoup de chiffres) et converti à un problème beaucoup plus facile (l'ajout de deux chiffres qui ont beaucoup de chiffres). Maintenant, nous devons reconvertir le résultat dans le domaine du problème initial.

Ensuite, nous convertissons à la forme exponentielle:

L'utilisation d'une table de « anti-logarithmes, » comme on les appelait à l'époque (à savoir une table des puissances de 10), nous lisons que:

Interpoler à nouveau, nous obtenons l'approximation que

En utilisant une calculatrice à la main, le résultat est

donc l'approximation à l'aide logarithmes est correcte à quatre chiffres significatifs.

La seule façon de vraiment apprécier la quantité de travail est enregistré à l'aide logarithmes est de multiplier réellement A et B à la main.

Outre la valeur à prendre un petit voyage dans le mémoire (ce qui est toujours utile pour les étudiants, afin de les informer sur la façon dont les choses ont été faites dans le passé), il y a une leçon plus générale que l'on peut tirer de cette petite technique de calcul.

IDEA: Si vous éprouvez des difficultés à résoudre un problème de mathématiques, voir s'il est possible de transférer le problème dans un autre domaine, où il est plus facile de résoudre un problème lié, puis transférer le résultat dans le domaine initial pour obtenir la solution au problème initial.

Ceci est une idée de résolution de problèmes précieux. Un autre exemple de cette idée est l'utilisation de transformées de Laplace dans la résolution de certaines équations différentielles. L'idée est de convertir une équation différentielle dans une équation algébrique, résoudre l'équation algébrique (qui est plus facile que la résolution de l'équation différentielle directement), et ensuite utiliser une transformée inverse pour convertir l'expression algébrique résultant de nouveau dans le domaine du problème initial.

Pédagogiquement, il est très utile d'avoir l'exemple de logarithme de ce poste dans votre poche arrière avant de rencontrer des transformées de Laplace; une fois que vous vous rendez compte qu'ils sont les deux instances de la même idée de base, il vous aide à comprendre la situation dans laquelle sont transformées de Laplace bref, et il vous aide à obtenir le blocage de la méthode de transformation de Laplace.

On rencontre aussi la même idée dans une technique pour résoudre inappropriés réels gênants Intégrales: Les commutateurs au domaine complexe, évalue un contour lié intégral à l'aide des techniques d'analyse complexe. puis revient à la ligne réelle pour évaluer l'intégrale réelle.

Retour à la technique décrite dans ce poste. La même idée peut également être utilisé pour diviser des nombres avec de nombreux chiffres, et de soulever un certain nombre à un autre numéro; on utilise uniquement les propriétés appropriées de logarithmes. Essayez-le pour vous-même et voir si vous pouvez obtenir ce travail!

Merci pour ces mots gentils!

Tous les meilleurs voeux!

professeur de poste très instructif, peut-être un aperçu dans votre enfance pour us.I élaboré quelques problèmes en utilisant le journal et les tables anti-log (jamais entendu parler) et je suis d'accord avec vous à faire des calculs fastidieux d'apprécier la puissance de logarithmes. Je pris un cours en algèbre linéaire cet été et j'ai trouvé des matrices de multiplication de longueur 5 X 5 ou 7 x 7 pour trouver la forme canonique jordan trop laborieuse et moi-même posé la question de savoir si je vais utiliser à nouveau cela, mais il a certainement amélioré mon l'appréciation de l'utilisation de l'érable / matlab.Is il quelque chose d'intéressant de votre enfance qui implique des matrices que nous ne sommes pas habitués aujourd'hui?

Bonne question, Mathew. Je ne l'ai pas appris sur les matrices jusqu'à ma dernière année au lycée, et je ne me souviens pas des sujets appris alors qui ne sont pas apprises de nos jours.

Je suppose que vous apprenez quelque chose à propos logarithmes et interpolation linéaire dans le processus.

Conrad Wolfram a un autre point de vue sur les ordinateurs où s'insèrent dans les mathématiques de l'enseignement:

Peu importe, je vous remercie pour cette illustration. Cet exemple pratique de logarithmes a un long chemin à faire avancer ma compréhension.

Heureux que vous avez apprécié le poste, Matt!

Je suis aussi heureux d'avoir vu le discours de Wolfram, ce qui est intéressant, même si je suis en désaccord avec elle dans certains aspects. Merci pour le lien.

Hou la la! Je voudrais avoir trébuché sur ce blog alors que j'étais au collège dong transformations de Laplace. Vraiment bien expliqué et instructif!

Salutations de la Finlande!

Grand poste! Merci d'avoir pris le temps d'écrire cela. La première chose que je pensais était de savoir comment cette idée était similaire aux techniques de transformation intégrale de sorte qu'il est bon de vous voir les mentionner.

Grand poste, le professeur Merci!

J'ai aussi utilisé la table de journal à l'école secondaire pendant 2 ans (1971), puis « avancé » à « Slide Rule » dans les années de premier cycle, au moment où je reçu un diplôme d'ingénieur, les étudiants plus jeunes sont passés à la calculatrice en 1980 ...

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Merci aussi d'avoir souligné qu'il ya une erreur typographique; J'ai revérifié et l'erreur apparaît un écran plus tôt que celui que vous avez mentionné; J'aurais tapé 10 ^ 0,01261 ​​au lieu de 10 ^ 0,1261. Je l'ai fait cette correction maintenant.