Comment faire des opérations binaires
2.1Definition (fonctionnement binaire.) Soit un ensemble. Une opération binaire sur une fonction. Les opérations binaires sont généralement désignés par des symboles spéciaux tels que
plutôt que par des lettres. Si une opération est binaire, nous écrivons au lieu de. Par la définition de la fonction (1,57), une opération binaire est un triple, mais comme il est d'usage pour les fonctions, nous vous renvoyons à `` l'opération binaire « au lieu de` `l'opération binaire ».
2.2Examples. Les opérations habituelles d'addition, la soustraction et la multiplication sont des opérations binaires sur et. Soustraction est pas une opération binaire, parce est pas. Division n'est pas une opération binaire, parce que la division par n'est pas défini. Cependant, la division est une opération binaire sur.
Soit l'ensemble de tous les ensembles. 2.1 Ensuite, l'union et l'intersection et la différence ensemble sont opérations binaires sur.
Soit l'ensemble de toutes les propositions. Ensuite, et et ou sont des opérations binaires sur. Dans la logique mathématique, et est habituellement représenté par ou et ou est représenté par ou.
2.3Definition (élément d'identité.) Soit une opération binaire sur un ensemble. Un élément est un élément d'identité (ou tout simplement une identité pour) si
2.4Examples. est une identité pour plus sur, et est une identité pour la multiplication sur. Il n'y a pas d'identité pour soustraction, puisque pour tout ce que nous avons
Depuis (2.5) est faux, la première déclaration est fausse; à-dire pour tous, ne constitue pas une identité pour.
2.6Exercise. Laissez l'ensemble de désigner tous les sous-ensembles de. Ensuite, l'union et l'intersection sont des opérations binaires sur. Y at-il un élément d'identité? Si oui, quel est-il? Y at-il un élément d'identité? Si oui, quel est-il?
2.7Theorem (Unicité des identités.) Soit une opération binaire sur un ensemble. On suppose que les deux sont des éléments d'identité pour. Alors . (D'où l'on parle habituellement de l'identité pour, au lieu d'une identité pour.)
Preuve: Soit des éléments d'identité pour. alors
Il suit ça.
2.9Definition (inverse). Soit une opération binaire sur un ensemble, et supposons qu'il y ait un élément d'identité. (Nous savons que cette identité est unique.) Soit un élément de. On dit qu'un élément est l'inverse de sous si
Nous disons que si est inversible en a une inverse sous.
2.10Examples. Pour l'opération sur, chaque élément a une inverse, à savoir.
Pour l'opération sur, le seul élément qui a un inverse est; est son propre inverse.
Pour l'utilisation, les seuls éléments inversibles sont et. Ces deux éléments sont égaux à leurs propres inverses.
Si une opération est binaire avec l'identité, alors, est donc toujours inversible, et est égal à son propre inverse.
2.11Exercise. A Soit l'ensemble de tous les sous-ensembles de. Dans l'exercice 2.6, vous devriez avoir montré que les deux opérations et ont des éléments d'identité.
Quels un des sous-ensembles de ont pour inverses? Quels sont ces inverses? b Quels sont les sous-ensembles de ont pour inverses? Quels sont ces inverses?
2.12Entertainment. Soit un ensemble, et que l'ensemble de tous les sous-ensembles de. Définir une opération binaire par
consiste donc à tous les points qui sont exactement l'un des ensembles. Nous appelons la différence symétrique et. Montrer qu'il existe un élément d'identité, et que chaque élément de inversible est pour.
2.13Definition (opération Associatif.) Soit une opération binaire sur un ensemble. Nous disons que si est associative
2.14Examples. Les deux et sont des opérations associatives sur. Soustraction n'est pas une opération associative, depuis
Notez que pour montrer qu'une opération binaire sur un ensemble n'est pas associative, il suffit de trouver un point tel que.
Vous devez vous convaincre que les deux et sont des opérations associatives sur l'ensemble de tous les ensembles. Si sont ensembles,
2.15Theorem (Unicité de la réciproque.) Soit être une opération associative sur un ensemble, et supposons qu'il existe une identité pour. Laisser . Si et sont pour inverses, puis.
Preuve: Depuis et sont pour inverses, nous avons
2.16Definition (élément inversible.) Soit une opération binaire sur un ensemble, comportant un élément d'identité. Je dirai qu'un élément est inversible pour, si a l'inverse. Si est associative, alors chaque élément inversible pour a une inverse unique que j'appelle l'inverse pour moins.
2.17Theorem (Double théorème inverse.) Soit une opération binaire associative sur un ensemble, avec l'identité, et laisser. Si est inversible pour ça, laissez l'inverse Désignons (unique) pour. Puis est inversible et.
Preuve: Si est l'inverse pour, puis
Mais c'est exactement la condition pour être l'inverse pour.
2.18Examples. Comme cas particulier du théorème double inverse, nous avons
Ici, comme d'habitude, indique l'inverse multiplicatif pour.
2.19Theorem (loi d'annulation.) Soit une opération binaire associative sur un ensemble, ayant l'identité, et laissez-être un élément inversible pour. alors
2.29Entertainment. Est-il possible de trouver des nombres entiers tels que les cinq numéros (2,24) - (2,28) sont tous différents? Si oui, trouver quatre tels entiers.
2.30Exercise. Soit une opération binaire associative sur un ensemble, et laisser des éléments de.
a) Montrer qu'il existe cinq façons différentes de mettre entre parenthèses sensiblement dans l'expression
et que les cinq façons de produire le même résultat. (Chaque façon utilisera deux ensembles de parenthèses, par exemple est un moyen. Si vous arrangez les choses correctement, vous aurez juste besoin d'appliquer quatre fois la loi associative.)
b) Montrer que si des éléments de, alors il y a 14 façons de mettre entre parenthèses dans
et que tous les 14 chemins mènent au même résultat. Ici, chaque façon sensible entre parenthèses insertion impliquera trois paires.
2.31Entertainment. Montrer qu'il ya 42 façons de mettre entre parenthèses dans
Cela peut se faire sans écrire vers le bas toutes les façons (et il n'y a pas beaucoup d'intérêt à écrire toutes les façons, parce que personne ne le lirait si vous l'avez). Si vous avez fait partie b. de l'exercice précédent de telle sorte que vraiment montré qu'il ya seulement 14 façons, vous devriez être en mesure de le faire, puis de calculer le nombre de façons de parenthésée produits avec sept facteurs. Il existe une formule simple (mais difficile à deviner) pour le nombre de façons de mettre entre parenthèses dans les produits avec des facteurs. Vous pouvez trouver la formule, avec une dérivation, dans [44].
2.32Definition (opération commutative.) Soit une opération binaire sur un ensemble. Nous disons que si est commutative
2.33Examples. Les deux et sont des opérations commutatives sur. est cependant pas une opération commutative, parce que.
Les opérations et les opérations sont commutatives sur l'ensemble de tous les ensembles, et et et ou sont des opérations commutatives sur l'ensemble de toutes les propositions. L'opération de différence de jeu ne sont pas commutative sur, depuis