Expansion partiel de Fraction
A titre d'exemple de l'expansion de fraction partielle, envisager la fraction:
Nous pouvons représenter cela comme une somme de fractions simples:
Mais comment pouvons-nous déterminer les valeurs de A1. A2. et A3?
Si nous avons une situation comme celle ci-dessus, il existe une méthode simple et directe pour déterminer les coefficients A1 inconnus. A2. et A3.
Pour trouver A1. multiplier F (s) par s,
et ensuite mettre en s = 0.
Pour trouver A2. multiplier F (s) par s + 2 et s = -2 de consigne.
De même, pour multiplier par A3 s + 5 et fixés s = -5
Ainsi, l'expansion finale est
Le résultat peut être simplement vérifié en mettant tous les termes étendus sur un dénominateur commun.
L'exemple donné ci-dessus montre que l'expansion de fraction partielle peut facilement étendre une fraction complexe en une somme de fractions simples. Cependant, il existe de nombreuses situations où l'expansion est pas si simple. Les cas que nous examinerons comprennent
- Ordre du polynôme numérateur est pas inférieur à celui du dénominateur. expansion de la fraction partielle ne peut être effectué que lorsque l'ordre du polynôme dénominateur (le terme inférieur de la fraction) est supérieur à l'ordre du numérateur (le terme haut). Si cette condition n'est pas remplie, il faut effectuer une étape supplémentaire avant de poursuivre l'expansion.
- Roots. Distinct réel Le problème résolu ci-dessus est décrit comme le cas des racines distinctes, réelles. Cela signifie que chaque terme apparaît une seule fois dans le dénominateur, et la racine de chaque terme du dénominateur est un nombre réel distinct. Dans l'exemple ci-dessus, les racines étaient à 0, -2 et -5.
- Racines réelles répétées. Une autre possibilité est un cas de racines répétées. Par exemple
dans lequel la racine à -2 est répétée. - racines complexes. Une difficulté supplémentaire se pose si le dénominateur ne peut pas être réduit à un produit de racines réelles. Par exemple, si
- Une exponentielle (ou autre fonction) dans le numérateur. Bien que ce n'est pas vraiment un cas particulier, il confond souvent les étudiants, nous allons discuter de ce qu'il faut faire si vous venez sur ce type de problème.
Les procédés d'expansion de la fraction partielle décrite ci-dessous peut être utilisé uniquement lorsque l'ordre du polynôme dénominateur est supérieur à celui du numérateur.
Exemple: Ordre du Numérateur Equals Ordre du Dénominateur
a numérateur et le dénominateur à la fois du second ordre. Avant d'effectuer une expansion de la fraction partielle, la fraction doit être manipulé de telle sorte que l'ordre du numérateur est inférieur à celui du dénominateur. Une façon simple de le faire est d'utiliser la longue division de la fraction.
Pour obtenir le 2 s d'abandonner, il faut multiplier par 3.
si le résultat est égal à 3 avec un reste de -39s-58. Ou, en d'autres termes
l'expansion de fraction partielle peut maintenant être appliquée à l'expression fractionnaire restante de F (s).
Exécution de l'expansion de fractions partielles d'une expression avec des racines réelles distinctes (à savoir non répété). Un exemple de cela a été fait ci-dessus. En général
où les ai sont tous uniques. Dans cette expression D (s) est le polynôme dénominateur d'ordre n, et N (s) est le polynôme numérateur dont l'ordre est inférieur à n. Nous voulons effectuer une fraction partielle de l'expansion telle que F (s) est exprimée sous la forme:
Exemple: Distinct Racines réelles
On obtient ainsi un système à quatre par quatre d'équations qui peuvent être résolues pour A1 à A4.
Ou, exprimé sous forme matricielle
Solution de quatre par quatre système d'équations est évidemment plus complexe que l'utilisation de la méthode de dissimulation pour trouver A1. A3 et A4. puis en utilisant la méthode de différenciation pour trouver A2. Cela pose la question: pourquoi utiliser la technique croisée multiplication? La réponse est que la technique croisée multiplication ne doit pas être utilisé isolément. La méthode de dissimulation peut être utilisé pour trouver A1. A3 et A4. Ensuite, on peut trouver la valeur de A2 en utilisant l'expression (obtenu en utilisant une multiplication croisée)
Un autre cas qui revient souvent est celle des racines complexes conjuguées. Considérons la fraction:
Le deuxième terme du dénominateur ne peut pas être pris en compte en termes réels. Cela nous laisse deux possibilités - soit accepter les racines complexes, ou de trouver un moyen d'inclure le second terme de l'ordre.
Exemple: racines complexes; Méthode 1 - Utilisation des racines complexes (premier ordre)
Notez que A2 et A3 doit être conjugués complexes les uns des autres, car ils sont équivalents, sauf pour le signe de la partie imaginaire. Effectuer les calculs nécessaires:
Exemple: racines complexes; Méthode 2 - Utilisation du second polynôme d'ordre
Une autre façon d'augmenter la fraction sans avoir recours à des nombres complexes est d'effectuer l'expansion comme suit.
Notez que le numérateur du second terme est plus une constante, mais est plutôt un polynôme de premier ordre. De là-haut (ou en utilisant la méthode de dissimulation), nous savons que A = -0,2. Nous pouvons trouver les quantités B et C de multiplication croisée.
Si nous assimilons les mêmes pouvoirs de « s » nous obtenons
ordre de
coefficient
côté gauche
coefficient
Puisque nous savons déjà que A = -0,2, la première expression (0 = A + B) nous dit que B = 0,2, et la dernière expression (3 = 5 + 5 ° C) nous dit que C = 0,8. Nous pouvons utiliser l'expression moyenne (1 = 4A + 5B + C) pour vérifier nos calculs. Enfin, nous obtenons
Une situation qui confond souvent les étudiants est quand il y a un terme exponentiel dans le numérateur. Par exemple, la fonction
ne peut pas être simplifié à une forme
Il est plutôt simplifié à
Les quantités A1, A2 et A3 se trouvent dans la même manière que pour le cas de racines réelles distinctes (ci-dessus). Alors