Fonctions factorielles de Fractions, Oh My! - Void Atoms
« En réalité, nous ne savons rien, car la vérité est dans les profondeurs. »
Son travail de deuxième cycle centré autour des fondations épistémologiques de l'information mesures théoriques utilisées en physique statistique, alors que son travail actuel tourne autour des systèmes de modélisation sur pour tester les aspects de la théorie de l'information intégrée, une théorie de la conscience développée à l'Institut de recherche du sommeil Wisconsin.
Selon toute vraisemblance, il est probablement assis à son bureau ce moment même, en sirotant le café et le codage, semi conscient du monde autour de lui.
Une question intéressante à poser est de savoir si cette fonction peut être généralisée à des valeurs entières non positives de n à savoir n ∉ Z. Qu'est-ce que le factoriel de π être? ou de -2? Quel est le factoriel d'une fraction? Il y a une solution simple que l'on peut tomber sur dans quelques instants de premier départ pour réfléchir à la question:
La première chose que nous découvrons, après intégration par parties, est qu'il satisfait une relation récursive intéressante:
Cette relation est exactement ce que nous voulons. Si n est un entier, alors nous constatons que je réduit à la factoriel standard. En fait, une fois que la fonction est connue pour toutes les valeurs comprises entre 0 et 1, toutes les autres valeurs positives de la fonction peuvent être déterminées. En outre, la relation récursive peut être inversé pour étendre la définition des valeurs négatives de l'argument ainsi:
Nous trouvons rapidement à partir de là que la fonction est définie pour tous les entiers négatifs. Cette fonction est nouvelle, et a d'abord été étudié par Euler en 1729, bien qu'il ait un nom différemment. Pour les mathématiciens, il est connu sous le nom de la fonction Gamma d'Euler, et est défini par:
Le graphique de la fonction Gamma est assez intéressante; un cri loin de la simplicité des fonctions plus simple apprend dans leurs cours de mathématiques de l'université de base.
Mais pourquoi arrêter avec la réalité? La définition intégrale de la fonction gamma peut être prolongée au-delà analytiquement l'axe réel de l'ensemble du plan complexe. Pour les valeurs complexes de l'argument de la fonction Gamma renvoie des valeurs complexes, des nombres à la fois une partie réelle et imaginaire. On peut visualiser à la fois les parties réelles et imaginaires avec trois dimensions graphiques, ainsi que l'ampleur de Gamma. Les images résultantes affichent une grande partie de la structure derrière ce simple, mais élégante, la fonction. Voici une idée de l'ampleur de Gamma sur le plan représenté graphiquement complexe:
Le plaisir ne fait que commencer. Armé de la puissance d'une fonction factorielle pour les non-entiers, il est possible de définir des dérivés fractionnaires, et connecter à la fois la différenciation et l'intégration dans un seul opérateur diffeointegral qui forme la base d'une branche fascinant des mathématiques connues sous le calcul symbolique. Pour ceux d'entre vous qui sont intéressés à apprendre davantage sur l'histoire de la fonction Gamma, vous pouvez vérifier ici. Mathworld Wolfram a une exposition fantastique des propriétés mathématiques de la fonction, ainsi qu'une page intéressante qui vous permet de représenter graphiquement Gamma sur les différentes parties du plan complexe.
Comme un régal finale, je veux calculer pour vous la valeur de factoriel moitié. Tout d'abord de la définition que nous commençons par:
Tout d'abord cette intégrale semble un peu intraitable, mais d'une simple transformation de coordonnées révèle un vieil ami. En utilisant…
et de modifier les limites de l'intégration (qui se trouvent être les mêmes qu'avant), on trouve ...
Ceci est juste une gaussienne pondérée. Elle peut être évaluée en utilisant une astuce simple impliquant l'introduction d'une nouvelle variable dans l'exponentielle et en utilisant la dérivée par rapport à cette variable pour transformer cette intégrale en une gaussienne norme ...
Qui aurait pensé que le factoriel de 1/2 est lié à n. C'est ce que je trouve incroyablement fascinant sur les mathématiques: comment les sujets mathématiques en apparence différents, le factoriel qui est utilisé dans combinatoires et π qui résulte de l'étude du cercle, sont en fait liés quand on commence à sonder les profondeurs mathématiques. Ces connexions ne sont pas imposées par le mathématique, ils ne sont pas construits, ils se trouvent cachés, inhérente à la définition des objets qui sont imaginés. Ils peuvent être découverts par les plus aventureux, ceux qui sont curieux et prêts à rogner l'obscurité de l'inconnu armé seulement la lumière de la raison. Les mathématiques sont un continent inexploré J'espère que tout le monde a l'occasion de visiter. J'espère que vous avez apprécié les quelques connexions que je vous ai montré ici. Espérons que d'autres petits exposés sur divers sujets mathématiques trouveront leur chemin dans cette section, et je peux vous prendre plus des excursions dans l'inconnu.