Introduction à la symétrie (Science U)
Pour la plupart des gens, l'idée de symétrie évoque des pensées de l'art et de la nature, ainsi que les mathématiques. Nos idées de beauté sont étroitement liées avec la symétrie, et les principes de symétrie se manifestent de façon subtile dans le monde naturel. Livres comme la conception et la couleur dans l'architecture islamique. Huit siècles de l'art et de la structure du tuilier dans la nature est une stratégie pour la conception de poursuivre ces liens de manière plus détaillée.
Qu'est-ce que la symétrie?
Même si nous comprenons tous et reconnaître la symétrie intuitivement, il est un peu plus difficile de dire exactement ce qu'il est. Cependant, dans le plan, l'idée de base est assez claire: une figure dans le plan est symétrique si vous pouvez vous procurer une copie de celui-ci, le déplacer vers un nouvel emplacement en quelque sorte, et le ramener sur le chiffre initial de sorte que il correspond exactement à nouveau.
Les animations ci-dessous illustrent cette définition de symétrie dans le cas d'un carrelage en damier. A gauche, le carrelage vient d'être déplacé ou est traduit de telle sorte qu'elle corresponde à nouveau avec lui-même. A droite, le carrelage est en rotation d'un quart de tour pour le faire correspondre à nouveau.
Le carrelage est un damier pavages très symétrique. Il y a beaucoup et beaucoup de façons de le déplacer sur lui-même afin qu'il corresponde à nouveau en plus des deux ci-dessus. Mathématiciens dire que autre façon de déplacer un carrelage sur lui-même est une « symétrie du carrelage ». Combien de symétries pouvez-vous penser pour le carrelage en damier?
Types de symétrie
L'une des premières choses à remarquer la symétrie est qu'il existe plusieurs types différents. En effet, il existe différentes façons de bouger quelque chose dans le plan. Une façon est de traduire juste un peu. Une autre est de le faire pivoter. Une autre est de le retourner. Par conséquent, il existe différents types de symétrie.
Considérez les images ci-dessus. Celle de gauche présente une symétrie de rotation. Vous pouvez le ramasser, faites-le pivoter d'un tiers d'un cercle, et le ramener vers le bas de sorte qu'il serait exactement correspondre. La figure à droite présente une symétrie miroir. Dans ce cas, vous pouvez le ramasser, retournez-le long de l'axe de la ligne pointillée, et le mettre vers le bas sur lui-même.
Il y a en fait quatre types de symétrie distincts, correspondant à quatre façons de déplacer une mosaïque autour dans le plan, illustré à droite. En langage mathématique, ces différentes façons de bouger les choses dans le plan sont appelés isométrie.
Pour avoir une idée rapide sur la façon dont fonctionnent isométriques, vous pouvez regarder des animations de traductions. rotations. réflexions. et glisser réflexions. ou vous pouvez lire isometries plus en profondeur dans l'introduction à Isométries dans la bibliothèque des sciences U.
Groupes de symétrie
Ce fait agréable rend beaucoup plus facile de penser sur le groupe de symétrie pour un pavage. Le groupe de symétrie d'un pavage est juste la collection de tous ses symétries. Si nous pensons le carrelage en damier continue à jamais dans toutes les directions, il est clair qu'il a une infinité de symétries. Juste pour commencer, nous pourrions tout Tranlate même nombre de places dans la direction x ou y et -Direction le carrelage serait toujours correspondre. Cela ne compte même pas toutes les rotations et autres isométries qui le prennent sur lui-même.
En général, plus symétrique un pavage est grande, plus son groupe de symétrie est. En effet, comme notre exemple montre checkboard, les groupes de symétrie peuvent être énormes, des choses infinies. Cependant, parce que nous pouvons composer symétries pour obtenir d'autres symétries, au lieu de penser à tous les symétries, il suffit de penser à quelques unes de base que nous pouvons composer les uns avec les autres pour obtenir tout le reste!
Dans le cas du carrelage en damier, par exemple, au lieu de penser à toutes les façons possibles de le traduire retour sur lui-même, nous pouvons nous concentrer sur deux traductions de base, l'une dans la direction x et une en direction y, comme indiqué ci-dessus à gauche. Nous pouvons obtenir toute autre symétrie de translation juste en faisant ces deux suffisamment de fois. Par exemple, la traduction en diagonale à droite est le même que l'effet net des deux verticales et une traduction de base horizontales affichées au milieu.
Mathematicians appeler une telle collection de symétries de base des générateurs du groupe de symétrie. Comme vous le verrez, les générateurs jouent un rôle important dans la classification des différents types de groupes de symétrie.