La preuve par épuisement de toutes les puissances entières positives de deux extrémité en 2, 4, 6 ou 8 - pile Mathématiques
Tout en apprenant sur les différentes formes de preuves mathématiques, mon professeur a présenté une question d'exemple adapté à la preuve par l'épuisement:
Prouver que toutes les 2 $ ^ n $ end à 2, 4, 6 ou 8 ($ n \ in \ mathbb, n> 0 $)
Je l'ai fait une tentative de prouver, mais je ne peux pas terminer la preuve sans faire des hypothèses qui réduisent la rigueur de la réponse.
Tous les pouvoirs entiers positifs de deux peuvent être représentés comme l'un des quatre cas ($ k \ in \ mathbb, k> 0 $, même pour $ y $):
Les méthodes de prouver les quatre cas ci-dessus étaient similaires; voici le dernier:
En utilisant l'expansion binomiale,
Tous les termes de somme où $ a \ neq0 $ end à zéro, car ils sont un multiple de 10 $ ^ k $, et par conséquent, un multiple de 10. Le terme de somme où $ a = 0 $ est 6 $ ^ k $, parce que $ = 10 ^ 0 = 1 $. Par conséquent, le résultat de la sommation se termine par six.
En supposant que toutes les puissances entières positives de six en six extrémité, et huit multiplié par un nombre quelconque se terminant en six extrémités en huit, les puissances de deux de la forme 2 $ ^ $ fin à huit.
Cette conclusion ne semble pas très bien à cause des deux hypothèses que je fais. Puis-je les prendre comme vrai, ou dois-je besoin de les prouver explicitement? Si je dois leur prouver, comment puis-je faire?
Astuce $ \ $ mod 10 $, \: $ les pouvoirs de $ \: 2 \: $ repeat dans un cycle de longueur 4 $, \: $ à partir de 2 $, \: $ depuis
$$ \ rm 2 ^ = 2 ^ K (1 + 15) = 2 ^ K + 30 \ cdot2 ^ \ equiv \ 2 ^ K \ \ (mod \ 10) \ quad pour \ quad K \ ge 1 $$
Maintenant, il suffit de prouver par induction que si $ \ rm \: f: \ mathbb N \ to \ mathbb N = \\: $, alors
Officieusement: une fois une récurrence cyclique commence à boucle, toutes les valeurs suivantes restent dans la boucle.
De même, supposons qu'il y sont des nombres entiers $ \ rm \: a, b, \: $ tel que $ \ rm \: f (n + 2) \ = \: a \: f (n + 1) + b \: f ( n) \: $ pour tout $ \ rm \: n \ ge 1 \:. $ Montrer que $ \ rm \: f (n) \: $ est divisible par $ \ rm \: gcd (f (1), f (2)) \: $ pour $ \ rm \: n \ ge 1 $.