Les équations linéaires, graphiques Ressources WyzAnt
Maintenant que nous avons résolu les équations à une variable. nous allons maintenant travailler sur la résolution des équations à deux variables et équations graphiques sur le plan de coordonnées. Les graphiques sont très importants pour donner une représentation visuelle de la relation entre deux variables dans une équation.
Tout d'abord, nous allons vous familiariser avec le plan de coordonnées (ou graphique cartésien).
Avion coordonné
Le Mathématicien par le français Rene Descartes a été créé plan de coordonnées afin de représenter goemetrically équations algébriques. Cela est souvent la raison pour laquelle le plan de coordonnées est appelé le plan cartésien, ou un graphique. Lorsque l'on travaille avec des équations dans plus d'une variable, en utilisant le graphique cartésien peut être outil important pour rendre des équations plus faciles à visualiser et comprendre.
Le numéro de ligne horizontal est l'axe x et la ligne de numéro vertical est l'axe des y. Le point où se croisent les deux lignes est appelée l'origine.
Chaque point sur le graphique est représenté par une paire ordonnée. où x est toujours la première valeur et y est toujours la deuxième valeur de la paire ordonnée (x, y). En effet, x est la variable indépendante. ce qui signifie qu'il est la variable qui est changé. Cette y rend la variable dépendante. ce qui signifie qu'il dépend de la façon dont x est en cours de modification. Nous allons explorer ce que nous commençons à des équations du graphique en termes de x et y. Maintenant, même si il y a deux valeurs dans une paire d'ordre, ils associent à un seul point sur le graphique.
Nous allons tracer les points A (0,0), B (1,2), C (-4,2), D (-3, -4) et E (4, -2).
Notez que A (0,0) est à l'origine, car il est à la fois x et les valeurs y sont 0. Pour B (1,2), la valeur x serait 1 et la valeur y serait 2. Pour tracer le point, nous serions aller dans le sens positif sur l'axe x jusqu'à ce que nous avons atteint 1, nous ensuite sur l'axe y positif jusqu'à ce que nous avons touché 2. C'est là le point est situé. Nous obtenons nos points en alignant simplement la valeur de la valeur x et y pour obtenir leur emplacement, et nous pouvons le faire pour toute paire de coordonnées.
Les lignes horizontales et verticales
Sur le plan de coordonnées, nous savons que chaque point doit avoir un x et une valeur y. Lorsque nous avons résolu les équations dans une variable, il était facile de voir que nous avions une valeur x. Ce que nous ne savions pas est que nous avions aussi une valeur y aussi bien. En fait, nous avons eu une infinité de valeurs y. De même, si nous devions résoudre une équation à une variable en termes de y, nous avons des valeurs infiniment beaucoup de x. Ces équations ne forment pas un point, mais plutôt une ligne horizontale ou verticale.
Lorsque x est égal à un nombre, y, peut prendre une valeur et il ne changerait pas l'égalité. On pourrait penser à l'équation comme ayant une valeur y avec 0 comme un coefficient, donc peu importe quelle valeur y prend, il multipliera toujours par 0. Cela formera une ligne verticale.
De même, lorsque y est égal à un nombre, x peut prendre une valeur et il ne serait pas atteinte à l'égalité. On pourrait penser à l'équation ayant une valeur de 0x. donc x peut être un nombre et ne toucheraient pas l'équation. Ce graphique sera une ligne horizontale.
Cela est logique, car l'axe x est y = 0 et l'axe y est x = 0.
Solutions d'équations à deux variables
Nous avons vu des expressions et des équations d'une variable, principalement x. Voici une expression
Lorsque nous branchons différentes valeurs de x, nous cédons également une autre sortie aussi bien. Étant donné que cette sortie varie en fonction de x, on peut aussi utiliser une variable pour représenter la sortie de x.
En traitant avec des équations à deux variables, les solutions sont constituées de valeurs de x et y qui rendent l'équation vrai lorsqu'il est branché dans l'équation. Ces solutions se révèlent être des paires ordonnées, et nous verrons que les équations de 2 variables peuvent avoir plus d'une solution, et souvent une infinité de solutions.
Compte tenu de l'équation
Déterminer si les coordonnées (1,5), (2,6) et (-1,1) sont des solutions à l'équation.
Commençons par (1,5) et le brancher dans l'équation de x et y.
C'est vrai! Cela signifie que ce point est une solution.
Ceci est faux parce que 6 ne correspond pas à 7, il est donc pas une solution.
Enfin, laissez-bouchon est dans (-1,1).
Ceci est un autre énoncé vrai, de sorte que (1,1) est une solution à l'équation.
Nous allons tracer les deux solutions que nous avons trouvé à y = 2x + 3 sur le plan de coordonnées
Ce ne sont pas les seules solutions à cette équation. Une méthode que nous pourrions utiliser pour trouver d'autres solutions à notre équation est de faire un tableau de valeurs x et y. Nous pouvons le faire en branchant différentes valeurs de x et y trouver leurs valeurs correspondantes.
Maintenant que nous avons quelques points de coordonnées, nous allons tracer le graphe sur le graphique.
Nous pouvons voir que les points forment une ligne droite, afin que nous puissions tracer une ligne à travers eux. Tout point sur cette ligne est une solution à l'équation y = 2x + 3. Il est sûr de dire que la ligne que nous avons tracé sur le graphique est la solution à celui de notre équation.
Pour toute équation à deux variables, on peut essayer de représenter graphiquement la fonction en branchant des valeurs aléatoires x pour obtenir nos valeurs y correspondantes. De cette façon, nous avons beaucoup de points que nous pouvons représenter graphiquement. Certaines équations sont plus faciles à représenter graphiquement, car ils ont des motifs notables. Nous devons garder à l'esprit que la plupart des équations avec lesquels nous travaillons en termes de x et y, parce que le plan de coordonnées est formé par les axes x et y.
Regardons les équations linéaires.
Équations linéaires
équations linéaires sont des équations de deux variables qui forment une ligne sur le graphique. Une équation linéaire est définie où chaque terme est une constante ou un produit d'une constante et d'une variable unique. Il y a beaucoup de façons différentes que les équations linéaires peuvent être représentées algébriquement et graphiquement représentés graphiquement.
Voici les différentes formes d'équations linéaires
Forme standard
Une équation linéaire sous la forme de deux variables peut être écrite sous cette forme, dans laquelle A, B et C sont des constantes. Cette forme est bénéfique, car on peut facilement obtenir les x et y INTERCEPTIONS en branchant 0 pour l'une des variables. Une interception est l'intersection de la ligne et soit l'axe x ou y. Nous verrons que ces interceptions aideront à tracer des équations linéaires.
Ecrire l'équation suivante sous forme standard et tracer la ligne sur le graphique.
D'abord, nous multiplions les deux côtés par 3 pour se débarrasser de la fraction.
Ensuite, nous soustrayons 2x des deux côtés pour obtenir le x et y du même côté
Nous allons réarranger donc notre valeur x est d'abord.
Ceci est la forme standard de notre équation d'origine. Étant donné que notre équation originale peut être écrit sous forme standard, nous savons qu'il est une équation linéaire (si une équation ne peut pas être écrit sous forme standard, il est pas linéaire).
Maintenant, nous allons tracer le graphique de l'équation en trouvant nos INTERCEPTIONS. Tout d'abord, nous allons trouver notre intercept y en branchant 0 pour x.
Nous avons branché à 0 pour x et y avons -4 pour. Notre coordonnée serait (0, -4). que nous appelons notre interception y. On appelle cela notre ordonnée à l'origine, car il est le point où le graphique de l'équation coupe l'axe y.
Trouvons l'interception de x en branchant 0 pour y.
Lorsque nous y = branché 0, nous avons x = 6, donc notre coordonnée est (6,0). Ceci est l'intersection de x, car il est le point où le graphique croise l'axe x. Puisque nous avons notre x et y INTERCEPTIONS et nous savons l'équation est linéaire (on le met dans le formulaire standard), on peut représenter graphiquement l'équation.
Cette ligne est la solution ensemble de notre équation. Il faut noter que si l'on connaît une équation est linéaire, il ne prend que deux points pour construire la ligne sur un graphique. Juste pour vous assurer, il est toujours bon de tracer plus de deux points pour vérifier si les points sont colinéaires (Si elles forment une ligne). Si nous ne savons pas linéaire, il est utile de tracer un certain nombre de points pour voir clairement la courbe du graphique. Si on nous a donné ce graphique sans la représentation algébrique, il serait difficile de trouver la forme standard de l'équation, nous pouvons utiliser les formes générales suivantes d'équations linéaires pour les trouver.
Forme d'interception de pente
Cette forme est la plus couramment utilisée pour représenter des équations linéaires. Cette forme est la meilleure façon de trouver le point d'intersection de la pente et l'ordonnée d'une équation linéaire, où m est la pente et b est l'ordonnée à l'origine.
Nous allons tracer cette équation en utilisant la forme d'une pente.
En comparant à notre équation pente générale à l'origine, on peut voir que m = 2/3 et b = -4. Traçage cela sur un graphique, nous pouvons obtenir notre ligne.
Puisque nous avons notre intercept y et notre pente, nous pouvons tracer notre intercept y et trouver un autre point sur la ligne en utilisant la pente. Depuis m = 2/3. nous pouvons aller jusqu'à 2 positif et droit positif 3 pour obtenir notre prochain point sur la ligne. Nous pouvons répéter ce processus pour obtenir la ligne de notre équation.
Forme Point-pente
Enfin, nous avons sous forme de point pente. Nous pouvons utiliser la représentation si nous avons un point quelconque de la ligne (il ne doit pas être une interception) et la pente, ou si nous avons deux points sur la ligne.
Trouver l'équation de la droite passant par le point (3, -2) avec une pente m = 2/3. Branchons les valeurs dans notre équation.
On branche en (3, -2) pour (x1, y1) et soit m = 2/3
Nous avons notre équation! Maintenant, nous allons essayer donné deux points.
Trouver l'équation de la droite passant par les points (-3, -6) et (3, -2). Si nous savons que l'équation est linéaire, on peut simplement tracer les points et tracer une ligne à travers eux, mais dans ce cas, nous voulons trouver l'équation de la ligne. Laissez-les brancher dans la forme de pente de point de vue général et voir ce que nous obtenons.
Étant donné que nous ne savons pas la pente, mais nous avons deux points, nous pouvons brancher nos deux points dans la formule de la pente.
Conversion de formulaires d'équations linéaires
Même si nous avons trois différentes formes d'équations linéaires, ils sont tous les mêmes. La raison pour laquelle nous avons ces différentes formes est parce qu'ils sont chacun bénéfique pour les représentations géométriques différentes et des façons de travailler avec les informations dont nous disposons. Les différentes formes d'équations linéaires peuvent être converties d'une forme à une autre.
(1) Lors de la conversion de la forme standard (Ax + By = C) pour former la pente à l'origine (y = mx + b), on a
(2) Lors de la conversion de la forme standard (Ax + By = C) pour former des pentes Point [(y-y1) = m (x-x1)], on a
Trouver l'équation d'une ligne
Si on nous donne un graphique d'une ligne et nous voulons trouver son équation (ou représentation algébrique), nous pouvons trouver un certain nombre de façons.
(1) Compte tenu de deux points sur la ligne, nous pouvons les brancher dans la formule de pente pour trouver la pente, puis utilisez le formulaire point pente.
(2) Compte tenu de tout point sur la ligne et l'ordonnée à l'origine, on peut le brancher dans la formule de la pente pour trouver la pente, puis utiliser soit le point de la pente ou de la forme pente à l'origine.
(3) Compte tenu de tout point sur la ligne et la pente, utilisez le point pente.
(4) Etant donné l'ordonnée à l'origine et la pente, utiliser le formulaire-interception d'une pente.
Traçage le graphe d'une équation linéaire
Compte tenu de tout type d'équation (il ne doit pas être linéaire), on peut brancher une valeur aléatoire x et obtenir une valeur de y. On pourrait tracer des points de cette façon, mais il est un processus fastidieux et pas tout à fait nécessaire. Voici d'autres façons de construire le graphe d'une équation linéaire.
(1) Compte tenu d'une équation sous une forme quelconque, de brancher toute valeur de x à l'équation et trouver la valeur de y. Tracer le point sur le graphique et le faire à nouveau pendant au moins un point de. Après que nous avons deux points, tracer une ligne à travers les points pour toutes les solutions à l'équation linéaire. Si les points sont non colinéaires (ils ne sont pas alignées), alors soit l'équation est non linéaire ou il y avait une erreur arithmétique à les trouver.
(2) Compte tenu de la formule type d'une équation linéaire (Ax + By = C), régler la valeur de x à 0 pour trouver l'ordonnée à l'origine et la valeur y de 0 pour l'ordonnée à l'origine de x. Tracer les points sur le graphique et tracer une ligne à travers eux.
(3) Compte tenu de la pente-Intercept Form (y = mx + b), tracer l'ordonnée à (0, b) et utiliser la pente m pour trouver le reste des points sur le graphique.
(4) Compte tenu de la forme Point-pente [(y - y1) = m (x - x1)], tracer le point (x1, y1) et utiliser la pente m pour trouver le reste des points sur le graphique.
Systèmes d'équations linéaires
Lorsque nous représentons graphiquement plus d'une équation linéaire à la fois, nous sommes considérés comme un système d'équations linéaires. La résolution de ces systèmes nous donnera le point où les lignes se croisent, ce qui est tout à fait pertinent dans diverses applications de la vie réelle et est exécutée souvent en économie et en mathématiques de niveau supérieur.
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