Méthodes de Pivoting
Dans le module Gauss-Jordan, nous avons vu un algorithme pour la résolution d'un système linéaire général d'équations comprenant des n équations et n inconnues où il est supposé que le système a une solution unique. La méthode est attribué Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) et Wilhelm Jordan (1842-1899). Le théorème suivant énonce les conditions suffisantes pour l'existence et l'unicité des solutions d'un système linéaire.
Théorème (Unique Solutions) Supposons est une matrice. Les affirmations suivantes sont équivalentes.
(I) Compte tenu de toute matrice, le système linéaire a une solution unique.
(Iii) Le système d'équations a la solution unique.
ProofGauss-Jordanie et élimination PivotingGauss-Jordanie et élimination Pivotant
(I) Les échangeurs: l'ordre des deux rangées peut être interchangé.
(Ii) Mise à l'échelle: la multiplication d'une rangée par une constante non nulle.
(Iii) remplacement: Row r peut être remplacé par la somme de cette remorque et un multiple non nul de toute autre rangée;
C'est: .
Il est de pratique courante de mettre en oeuvre (iii) par le remplacement d'une rangée à l'écart de cette ligne et un multiple d'une autre rangée.
ProofGauss-Jordanie et élimination PivotingGauss-Jordanie et élimination Pivotant
Définition (Pivot Element). Le nombre dans la matrice de coefficient qui est utilisé pour éliminer où, est appelé l'élément de pivot, et la ligne est appelée la ligne de pivotement.
Théorème (élimination gaussienne Retour Remplacement). On suppose qu'il est une matrice inversible. Il existe un système unique qui est équivalent au système donné, où est une matrice triangulaire supérieure avec pour. Après sont construits, la substitution de retour peut être utilisé pour résoudre pour.
ProofGauss-Jordanie et élimination PivotingGauss-Jordanie et élimination Pivotant
Il existe de nombreuses stratégies de pivotement discutés dans la littérature. Nous ne citerons que quelques-uns pour donner une indication des possibilités.
(I) Non Pivotant. Aucun moyen de pivotement sans échanges de lignes. Il peut se faire que si l'élimination gaussienne jamais courir dans des zéros sur la diagonale. Étant donné que la division par zéro est une erreur fatale, nous évitons généralement cette stratégie de pivotement.
Pour éviter le pivotement
(Ii) Trivial pivotant. La stratégie de pivotement trivial est la suivante. Si . ne pas changer les lignes. Si . localiser la première ligne au-dessous dans laquelle p et ensuite passer rangées k et p. Cela se traduira par un nouvel élément. qui est un élément de pivotement différent de zéro.
Pour réduire les erreurs faisant pivoter
Parce que l'ordinateur utilise l'arithmétique fixe précision, il est possible qu'une petite erreur sera introduit à chaque fois qu'une opération arithmétique est effectuée. L'exemple suivant montre comment l'utilisation de la stratégie de pivotement triviale dans l'élimination de Gauss peut conduire à des erreurs importantes dans la solution d'un système linéaire d'équations.
Méthodes ProofPivoting
Méthodes informatiques ProgramsPivoting
Sous-programmes Mathematica pour Pivoting.Execute les cellules de ce groupe pour activer à des sous-routines.
Exemple 1. Les méthodes d'élimination de Gauss à résoudre. Utilisez les triviales, à l'échelle des stratégies partielles de pivotement partielle et totale.
Solution 1.
Exemple 2. Les méthodes d'élimination gaussienne à résoudre. Utilisez les triviales, à l'échelle des stratégies partielles de pivotement partielle et totale.
Solution 2.
Un système linéaire avec une matrice de Hilbert est difficile à résoudre numériquement. Les exemples suivants illustrent cette situation.
Exemple 3. Les méthodes d'élimination de Gauss pour résoudre, où est la matrice de Hilbert et. Utilisez les triviales, à l'échelle des stratégies partielles de pivotement partielle et totale.
Solution 3.
Exemple 4. Les méthodes d'élimination de Gauss pour résoudre, où est la matrice de Hilbert et. Utilisez les triviales, à l'échelle des stratégies partielles de pivotement partielle et totale.
Solution 4.
Exemple 5. Les méthodes d'élimination de Gauss pour résoudre, où est la matrice de Hilbert et. Utilisez les triviales, à l'échelle des stratégies partielles de pivotement partielle et totale.
Solution 5.
Exemple 6. Les méthodes d'élimination de Gauss pour résoudre, où est la matrice de Hilbert et. Utilisez les triviales, à l'échelle des stratégies partielles de pivotement partielle et totale.
Solution 6.
Exemple 7. Les méthodes d'élimination de Gauss pour résoudre, où est la matrice de Hilbert et. Utilisez les triviales, à l'échelle des stratégies partielles de pivotement partielle et totale.
Solution 7.
Exemple 8: Utilisation des méthodes d'élimination de Gauss à résoudre, où est la matrice de Hilbert et. Utilisez les triviales, à l'échelle des stratégies partielles de pivotement partielle et totale.
Solution 8.
Expérience de recherche pour les étudiants
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