Polyèdres provenant de la troncature progressive par cube du tétraèdre tronqué archimédien

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Troncature polyèdres platoniciens

Archimède CUBE TRONQUE

Troncature DE SOLIDES archimède

bord troncature
par-triacontaèdre rhomb
du archimédien
icosaèdre tronqué

A l'inverse, aucun polyèdre de sommet-transitif résulterait du processus de troncature, même si la substance solide tronquer chacun des autres polyèdres d'Archimède figurant sur la figure 2 était le double Catalan (Fig.6) respective; Cependant, bien que pas équivalent, les sommets de chaque polyèdre résultant sont à égale distance de son centre.

DE tétraèdre AU archimède TRONQUE TETRAHEDRON

Le tétraèdre est le cinquième solide platonique; il joue un rôle singulier parmi les polyèdres réguliers convexes, en raison de certaines caractéristiques particulières:

• comme cela a déjà souligné dans [6]. le tétraèdre peut être lié à tous les quatre autres solides platoniciens par les opérateurs désignés: rejoindre, ambon, gyroscope et retroussé, selon la notation [7] proposé par John Conway (Fig.16).

FIG.16 - opérateurs Conway reliant tétraèdre aux quatre autres solides platoniciens.

Dans les deux séquences, la trame la plus intéressante correspond à la situation dans laquelle le rapport des distances des deux tétraèdres du centre est égale à 5/3: le solide résultant est le tétraèdre tronqué d'Archimède. Enfait il est un polyèdre semi-régulier, puisque les faces du tétraèdre tronquer, à savoir celui plus éloigné du centre du solide, ont la forme de triangles équilatéraux, tandis que les faces du tétraèdre tronqué, celui plus proche du centre , sont des hexagones réguliers (figure 18).; En outre, il est également de sommets transitive, étant tous ses sommets, partagées par une forme triangulaire et deux faces hexagonales des deux tétraèdres, toutes équivalentes par l'action des éléments de symétrie qui la caractérisent.

Figure 18 - Couple de vues du tétraèdre tronqué d'Archimède, obtenue lorsque la valeur du rapport d / D entre les distances des tétraèdres et du centre du solide est 5/3 (à gauche) ou 5.3 (à droite) .

Il est important de souligner que les deux tétraèdres tronqués montré dans Fig.18 ne sont pas rotation chirale, étant congruents par un 90, tout comme le couple de deux tétraèdres; dans la pratique, ils sont deux autres points de vue d'un tétraèdre tronqué archimédien unique.
De même pour le couple de Triakis-tétraèdres, montré dans Fig.19. étant la (sur la gauche) ou (à droite) Triakis-tétraèdre. Ils sont deux vues alternatives du Catalan Triakis-tétraèdre, double du tétraèdre tronqué archimédien.

La figure 19 - Couple de Triakis-tétraèdres congruents catalans et, duales du tétraèdre tronqué, archimédien fixés dans deux orientations alternatives, 90 degrés. Dans chaque polyèdre catalane tous les angles dièdre entre couples de faces contiguës ont une valeur constante: en cas de Triakis tétraèdre cette valeur est 50,48 ..

Intersection LE archimède TRONQUE TETRAHEDRON ET LE CUBE
En général, l'intersection de tétraèdres tronquée avec un autre polyèdre peut conduire à son plus troncature.
Comme il sera illustré dans un article suivant, on peut obtenir une série de polyèdres de sommet-transitif, dans le cas de la symétrie du groupe du point 4 de 3m, par l'intersection de chaque tétraèdre tronqué avec un cube de dimensions progressivement réduite: en particulier, la suivante séquence animée (Fig. 21) décrit la troncature de bord par un cube de la tétraèdre tronqué d'Archimède.

Le choix de trames sélectionnés de la séquence permet de mettre en évidence les étapes les plus intéressantes du procédé bord troncature (colonne de gauche de la Fig. 22) et les duals relatives sont indiquées dans la colonne de droite. La rangée inférieure de chaque rapports de trame également la projection stéréographique correspondant entre le point de vue, le long de la direction verticale [001], du couple de polyèdres double.

polyèdres intermédiaire (et duals relative) résultant de la troncature progressive du tétraèdre tronqué par un cube d'Archimède

Figure: 22 - images sélectionnées de la séquence animée rapportée dans Fig.20, illustrant les étapes les plus importantes de la troncature progressive par un cube de tétraèdre tronqué archimédien. Le polyèdre obtenu à chaque étape est indiqué sur la gauche de la rangée supérieure, tandis que le double par rapport est représenté sur la droite; la projection stéréographique des faces du polyèdre dual sont rapportés dans la rangée inférieure, entre les points de vue le long de la direction verticale [001] du couple de polyèdres double.

Une description détaillée des formes obtenues à chaque étape du processus de troncature (et aussi de la duals relative) est donnée dans le tableau suivant.

Quand d = 1,0 les faces du cube sont juste tangent à six arêtes du tétraèdre tronqué d'Archimède et n'intersecate il: donc le solide dans (a) consiste dans le tétraèdre tronqué d'Archimède, en faces triangulaires et hexagonales, à la fois régulière, et le solide dans (a ') est constitué dans son dual, le Catalan Triakis-tétraèdre, comportant douze faces.

En conséquence, au début de la troncature par le cube dont les faces venant des deux tétraèdres prennent la forme d'un hexagone non régulier, alors que les faces du cube sont rectangulaires; étant donné que chaque sommet (partagé par trois faces, l'une du cube et deux de l'autre tétraèdres) est équivalent par symétrie à tous les 23 autres sommets, la forme en (b) est le sommet-transitif (ou isogonal) et son dual représenté sur la (b ') est le transitive face (ou isoedrique) hexakis-tétraèdre, ayant vingt-quatre faces.

En (c) les petites faces hexagonales régulières deviennent par suite de l'augmentation de la troncature; par conséquent, dans la double hexakis-tétraèdre montré en (c '). les angles dièdres entre chaque couple de faces contigus inclus dans l'ensemble des six faces partageant un sommet le long de la direction [111] sont tous égaux (17,860.).

En (d) les faces dérivés des deux tétraèdres ont encore la forme d'hexagones non réguliers; la forme double isoedrique, représenté en (d '). est le hexakis-tétraèdre.

En conclusion, sur la figure 23, on peut voir la séquence animée par rapport aux duals des formes rapportées sur la figure 21.