Pourquoi noeuds de noeud, des molécules et des numéros de bâton
Un jour ne se passe pas que nous ne traitons pas avec des nœuds. De attacher une chaussure le matin ou démêlage une rallonge pour attacher un ruban autour d'un présent, noeuds font partie intégrante de notre vie.
Et ils ont fait partie de notre vie depuis très longtemps. Au début de la civilisation, les nœuds auraient été utilisés pour attacher les vêtements rudimentaires, pour sécuriser les armes au corps, pour créer des abris. Nous avons compté sur eux depuis des milliers d'années. Mais il y a plus à eux que les applications physiques que nous prenons pour acquis.
Prenez un morceau de ficelle. Faire un nœud en elle, et puis coller les deux bouts de la corde ensemble. Vous avez maintenant pris au piège le noeud sur la corde. Peu importe combien de temps vous essayez de démêler la chaîne, vous ne réussirez jamais sans couper la chaîne ouverte. Les modèles de la chaîne concept mathématique d'un noeud.
Figure 1: Un nœud mathématique
Compte tenu de ces deux boucles nouées de ficelle, nous les considérerons équivalent si l'on peut être réarrangé pour ressembler à l'autre, encore une fois sans laisser brins de passer à travers l'autre.
Voici quelques-unes des nœuds les plus célèbres, tous connus pour être inéquivalents. En d'autres termes, aucun de ces trois peut être réarrangé pour ressembler les autres. Cependant, ce qui prouve ce fait est difficile. C'est là que les mathématiques entre en jeu. La boucle de ficelle à gauche est le dénouent. également connu sous le nœud trivial.
Figure 3: Le nœud trivial, le nœud de trèfle, et le chiffre de huit noeuds
Le nœud de trèfle et le noeud en huit sont les deux nœuds triviaux simples, le premier ayant une photo avec trois points de passage et le second avec quatre. Aucun autre nœuds triviaux peuvent être dessinés avec si peu de passages. Au fil des ans, les mathématiciens ont créé des tables de noeuds, tous connus pour être distincts. Voici une page au hasard des noeuds de 10 passages.
Figure 4: Certains des noeuds 10 de passage distinctes.
Jusqu'à présent, plus de 1,7 million de noeuds inéquivalentes avec des images de 16 ou moins passages ont été identifiés.
La théorie mathématique des nœuds est née des tentatives de modéliser l'atome. Vers la fin du XIXe siècle, Lord Kelvin a suggéré que les différents atomes étaient effectivement différents nœuds liés dans l'éther que l'on croyait pénétrer dans tout l'espace. Physiciens et mathématiciens mis à faire du travail une table des noeuds distincts, croyant qu'ils faisaient une table des éléments.
Figure 5: Les différents noeuds correspondent à des éléments différents?
En 1887, l'expérience de Michelson-Morley a démontré qu'il n'y avait pas comme l'éther, et les physiciens et les chimistes se désintéressa en nœuds pour le siècle prochain. Mais pour les mathématiciens, il était trop tard. Ils ont été accrochés sur la beauté intrinsèque du champ et les mathématiques qu'il engendre, et les aspects théoriques de nœuds ont continué à se développer.
Dans les années 1980, les chimistes et biochimistes sont redevenus intrigués par la théorie des nœuds. L'une des applications importantes est de l'acide molécule désoxyribonucléique (ADN). ADN est constitué de millions d'atomes qui forment ensemble un modèle pour la vie. Bien qu'il soit sous la forme d'une double hélice, nous pouvons penser comme une chaîne mince très long emballé dans le noyau d'une cellule, comme 200 kilomètres de la ligne de pêche emmêlée à l'intérieur d'un ballon de football. Pourtant, il doit être en mesure d'effectuer diverses fonctions telles que la recombinaison, la transcription et la réplication. L'emmêlement peut empêcher ces opérations d'être en mesure de se produire. Il se trouve qu'il ya des enzymes dans le noyau qui effectuera des opérations noeud sur la molécule théorétiques d'ADN qui lui permettent de nouer et dénouer. Bien que nous n'aller plus loin dans ce domaine de recherche fascinant ici, biochimistes et mathématiciens collaborent sur les tentatives de comprendre comment les différentes enzymes agissent.
Chimistes sont également très intéressés à créer des molécules nouées. On peut facilement imaginer un soi-disant molécule « cyclique ». Ceci est une molécule formée par une séquence d'atomes de bout en bout collés. Ensuite, les derniers liens atomiques avec la première, formant une molécule en forme de boucle comme sur la gauche de la figure 6. Benzène est un bon exemple d'une telle molécule.
Maintenant imaginer la construction d'une molécule exactement de la même manière, avec le même ensemble d'atomes constitutifs liés dans le même ordre, mais cette fois, avant de coller le dernier atome de la première, un noeud est lié dans le brin moléculaire. Une fois que les extrémités sont reliées entre elles, nous avons une molécule nouée.
Figure 6: une molécule cyclique et une molécule nouée avec les mêmes atomes constituants.
Comme il existe une infinité de possibles noeuds distincts, il apparaît qu'une seule séquence d'atomes liés dans un certain ordre peut générer un nombre infini de différentes molécules, un pour chacun des différents noeuds dans la table des noeuds. Bien sûr, ce n'est pas tout à fait le cas. Si nous avons une séquence de 10 atomes, nous ne serons pas en mesure de créer un nœud de 50 passages. Il y aura une limite supérieure de la complexité des nœuds avec autant constructible atomes.
La première question que l'on peut poser est: « Quel est le nombre d'atomes plus petits nécessaires pour construire une molécule nouée de façon non triviale? »
Nous allons modéliser chaque atome par un point dans l'espace, appelé un sommet, et chaque liaison entre les atomes d'un bâton entre les sommets correspondants. Ensuite, une molécule cyclique, nouée ou non, est modélisée par une succession de bâtonnets de bout en bout par collage de telle sorte que le dernier est également collée à la première.
Fig 7: une version de bâton d'une molécule nouée.
Donc, nous allons savoir combien de bâtons sont nécessaires pour faire un nœud non négligeable. Un ou deux bâtons ne suffisent pas à faire une boucle, nouée ou autrement. Trois bâtons peuvent former un triangle, mais comme un triangle se trouve dans un plan, il n'y aura pas de passage et ce sera un nœud trivial.
Figure 8: Trois bâtons ne suffiront pas à faire un nœud non trivial.
Qu'en est-quatre bâtons? Si nous tirons des photos avec quatre bâtons, on voit rapidement (et peut prouver) qu'il n'y a que deux possibilités. Soit les bâtonnets ne se croisent pas entre eux du tout, auquel cas le noeud est trivial, ou les bâtonnets peuvent avoir une traversée, dans ce cas, peut être réarrangé le noeud de voir qu'il est triviale.
Figure 9: Images de noeuds construits à partir de quatre bâtons.
Que diriez-vous de cinq bâtons? Eh bien, supposons que nous pourrions faire un nœud non négligeable sur cinq bâtons de bout en bout collé. Imaginons dessiner une image de ce noeud supposé, mais ce sera une image très particulière. Nous allons regarder droit vers le bas l'un des bâtons et dessiner l'image du nœud résultant. Le bâton que nous regardons vers le bas apparaît dans l'image comme un simple sommet unique, puisque nous sommes à la recherche vers le bas il. Donc, dans notre image, nous ne voir les quatre bâtons restants. Par conséquent, notre image sera exactement comme l'un des plus à la figure 9 ci-dessus, et encore une fois, notre noeud sera trivial. (Que diriez-vous que pour un argument bien?) Qu'en est-il six bâtons? Voici une photo d'un noeud trilobé construit avec six bâtons:
Figure 10: Un nœud de trèfle fabriqué à partir de six bâtons.
L'image elle-même ne suffit pas à démontrer que le noeud pourrait effectivement être construit dans l'espace avec des bâtons droits dans ce modèle. Il se pourrait que l'un des bâtons coudes dans le plan perpendiculaire à l'image, mais nous ne pouvons pas voir. Cependant, les étiquettes sur l'image sont là pour nous convaincre qu'il peut être construit avec des bâtons droites. Les sommets marqués avec P doivent être considérés comme se trouvant dans le plan de l'écran. Les sommets B marqués se trouvent dans un plan situé derrière l'écran, et ceux marqués F sont en face de l'écran. On pourrait effectivement choisir les coordonnées dans l'espace en 3 dimensions et montrer que les bords sont dans la relation correcte entre eux afin de prouver que ce modèle de la minette est réalisable dans l'espace en 3 dimensions.
Figure 11: La molécule jusqu'à noueux simple.
Bien entendu, la synthèse de molécules nouées est une affaire délicate. Il est assez simple pour attacher un noeud dans un morceau de ficelle. Mais imaginez essayer de reproduire ce processus au niveau moléculaire. Ce n'est pas un mince exploit.
On aimerait répondre à la question correspondante pour tout noeud particulier K. Combien de bâtons faut-il pour construire K? Nous appelons le moins de bâtons pour un noeud K le numéro de bâton de K, s dénotés (K). Retraduite à la chimie, cela est pertinent à la question de savoir combien de temps une chaîne moléculaire est nécessaire pour construire une molécule nouée sous la forme d'un noeud particulier.
Voici une photo d'un noeud torus. qui entoure la surface d'un beignet (dont la forme mathématique est appelé un tore). Nous pouvons compter le nombre de fois où il enveloppe le long chemin, notée p, et le nombre de fois qu'il enroule autour de la façon courte, notée q. Nous disons un tel noeud est un (p, q) noeud -torus.
Vous pouvez utiliser des versions interactives de ce document et la figure 13 si vous activez Java dans votre navigateur et recharger cette page.
Figure 12: Le (p, q) - noeud tore. Cliquez et faites glisser le curseur sur l'image pour tourner.
Par exemple, le nœud de trèfle est un (2,3) noeud -torus, comme le montre la figure 13. Vous pouvez voir si vous pouvez montrer qu'il est aussi un (3,2) - noeud torus. (En fait, tous les (p, q) noeud -torus est aussi un (q, p) noeud -torus.)
Vous pouvez utiliser des versions interactives de ce 12 et la figure si vous activez Java dans votre navigateur et recharger cette page.
Figure 13: Le trèfle comme un noeud de tore. Cliquez et faites glisser le curseur sur l'image pour tourner.
Comme il arrive parfois en mathématiques, ce résultat a été indépendamment prouvé par Gyo Taek Jin, un coréen mathématicien, qui a trouvé le numéro de bâton d'une classe encore plus de noeuds de tores. L'idée de montrer qu'un (q, q-1) noeud -torus peut être construit à partir de bâtons 2q était de modéliser le tore par deux hyperboloïdes tronquées, une mince et une largeur.
Figure 14: Un tore peut être modélisé par deux hyperboloïdes tronqués.
Hyperboloïdes sont exclues des surfaces, ce qui signifie qu'ils peuvent être entièrement couverts par des lignes disjoints. Le choix des segments de ligne droite de q se trouvant sur chaque hyperboloïde tronqué permet de construire le (q, q-1) noeud -torus.
La deuxième partie de l'argument est de montrer que les nœuds ne peuvent être construits avec moins de bâtons. Bien que trop technique pour entrer dans ici, nous avons utilisé la courbure totale des noeuds à démontrer, alors que Gyo Taek Jin utilisé quelque chose appelé le numéro de superbridge d'un nœud.
De nombreuses questions sur le numéro de bâton restent ouvertes. Voici deux plus particulières.
1. Combien de bâtons faut-il pour faire un noeud 2-tresse (voir figure 15)?
Figure 15: Un nœud 2-tresse.
La conjecture est c + 3, où c est le nombre de passages à niveau. Cela fonctionne certainement pour le lotier. Il est pas trop difficile de montrer que toute 2-tresse des passages c peut être construit avec c + 3 bâtons. (Essayez!) Mais il faut montrer qu'aucun d'entre eux peut être construit avec un plus petit nombre de bâtons. C'est là les choses se corsent.
2.can le numéro de bâton d'un changement de nœud si vous permettez que des bâtons de longueur égale?
Une réponse à l'une de ces questions serait intéressant aussi bien pour les mathématiciens et les chimistes.
Comme la théorie mathématique des nœuds se développe, leur utilité continuera à se développer. Caché dans ces objets simples est une quantité incroyable de mathématiques, avec des implications essentielles pour la physique, la chimie, la biologie et les autres sciences. Il est difficile de ne pas répondre à la question, « pourquoi noeud? »
A propos de l'auteur
Colin Adams est le Christopher Oakley Francis troisième siècle professeur de mathématiques à Williams College, Massachusetts. Il est particulièrement intéressé par la théorie mathématique des nœuds et leurs applications. Il est l'auteur du livre Knot, une introduction élémentaire à la théorie mathématique des nœuds, co-auteur des suppléments humoristiques au calcul « Comment Ace Calcul » et « Comment Ace le reste du calcul » et l'auteur d'un régulier colonne humour mathématique appelée « Bent Mathématiquement » dans le Mathematical Intelligencer.