SparkNotes Vector La Croix-produit Multiplication (page 2)
pour une constante c. Parce que plus tard, nous voulons l'ampleur du vecteur résultant d'avoir une signification géométrique, nous avons besoin d'avoir ck unité de longueur. En d'autres termes, c peut être +1 ou -1. Maintenant, nous faisons un choix totalement arbitraire afin d'accorder à la convention: nous choisissons c = + 1. Le fait que nous avons choisi d'être positif c est connu comme le droit à la main la règle (nous pourrions tout aussi bien choisi c = - 1. et les mathématiques seraient tous travailler à être le même aussi longtemps que nous étions en accord - mais nous devons choisir l'un ou l'autre, et il ne sert à rien d'aller contre ce que tout le monde fait) Il se trouve que dans l'ordre. être conforme à la règle de droite, tous les produits croisés entre vecteurs unitaires sont déterminés de manière unique:
En particulier, notez que l'ordre des vecteurs dans les produits croisés revêt une importance. En général, u × v = - v x u. De là, nous pouvons voir que le produit croisé d'un vecteur avec lui-même est toujours égale à zéro, puisque par la règle ci-dessus u × u = - u × u. ce qui signifie que les deux parties doivent disparaître pour l'égalité à tenir. Nous pouvons maintenant compléter notre liste de produits croisés entre vecteurs unitaires en observant que:
Malheureusement, cela est aussi facile qu'il obtient quand il vient d'écrire le produit croisé explicitement en termes de composants vectoriels. Il est probablement un bon de garder cette formule à portée de main jusqu'à ce que vous habituez à calculer les produits croisés de vecteur.
Heureusement, comme cela est le cas avec le produit scalaire, il existe une formule géométrique simple pour calculer le produit vectoriel de deux vecteurs, si leurs longueurs respectives et de l'angle entre eux est connu. Considérons le produit vectoriel de deux vecteurs (pas nécessairement unité de longueur) qui se trouvent uniquement le long des axes x et y (i et j comme fais). Nous pouvons donc écrire les vecteurs comme u = ai et v = bj. pour certaines constantes a et b. Le produit vectoriel u × v est donc égal à
Notez que l'amplitude du vecteur résultant est le même que l'aire du rectangle avec des côtés u et v Comme promis ci-dessus, l'amplitude du produit croisé de deux vecteurs,. | u × v |. a une interprétation géométrique. En général, il est égal à l'aire du parallélogramme ayant deux vecteurs donnés comme ses côtés (voir).
De la géométrie de base, nous savons que ce domaine est donnée par zone = | u || v | sin. où | u | et | v | sont les longueurs des côtés du parallélogramme, et θ est l'angle entre les deux vecteurs. Notez que lorsque les deux vecteurs sont perpendiculaires les uns aux autres, θ = 90 degrés, alors sin = 1 et on retrouve la formule bien connue de l'aire d'un carré. D'autre part, lorsque les deux vecteurs sont parallèles, θ = 0 degrés et 0 = sin, ce qui signifie la zone disparaît (comme nous l'attendons). En général, alors, nous constatons que l'ampleur du produit croisement entre deux vecteurs u et v qui sont séparés par un angle θ (en sens horaire de u à v comme spécifié par le droit à la main Règle.) Est donnée par: