Le produit Cross
Le produit Cross
En plus de l'addition usuelle des vecteurs et la multiplication des vecteurs par scalaires, il y a aussi deux types de multiplication des vecteurs par d'autres vecteurs. Un type, le produit scalaire. est un produit scalaire; le résultat du produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire. L'autre type, appelé le produit croisé, est un produit vectoriel, car il donne un autre vecteur plutôt que d'un scalaire. Comme avec le produit scalaire, le produit croisé de deux vecteurs contient des informations précieuses sur les deux vecteurs eux-mêmes.
Le produit croisé de deux vecteurs a =
et le déterminant d'une matrice 3x3 est
Le produit vectoriel des vecteurs a =<3,-2,-2> et b =<-1,0,5> est
Propriétés du produit Cross:
- La longueur du produit croisé de deux vecteurs est
- La longueur du produit croisé de deux vecteurs est égale à l'aire du parallélogramme déterminé par les deux vecteurs (voir la figure ci-dessous).
- anticommutativité:
- La multiplication par scalaires:
- distributivity:
- Le produit triple scalaire des vecteurs a. b. et C.
- Le volume du parallélépipède déterminé par les vecteurs a. b. et c est la grandeur de leur produit scalaire triple.
- Le vecteur produit triple des vecteurs a. b. et C.
Notez que le résultat de la longueur du produit vectoriel donne directement sur le fait que les deux vecteurs sont parallèles si et seulement si leur produit vectoriel est le vecteur nul. Ceci est vrai étant donné que deux vecteurs sont parallèles si et seulement si l'angle entre eux est de 0 degrés (ou 180 degrés).
Ainsi, la zone du traingle est une moitié de cette quantité, ou 8,26.
Le produit croisé se produit dans de nombreuses formules en physique. En voici quelques exemples la boucle d'un champ vectoriel (voir aussi le théorème de Stoke), le couple, et bien sur les surfaces Intégrales.