3 façons de trouver l'inverse d'une matrice 3x3

opérations inverses sont couramment utilisées en algèbre pour simplifier ce qui pourrait autrement être difficile. Par exemple, si un problème vous oblige à diviser par une fraction, vous pouvez plus facilement multiplier par sa réciproque. Ceci est une opération inverse. De même, car il n'y a pas d'opérateur de division pour les matrices, vous devez multiplier par la matrice inverse. Calcul de l'inverse d'une matrice de 3x3 à la main est un travail fastidieux, mais la peine d'examiner. Vous pouvez également trouver l'inverse à l'aide d'une calculatrice graphique avancée.

Modifier étapes

Méthode L'un des trois:
Création du Comatrice pour trouver la matrice inverse Modifier

Vérifiez le déterminant de la matrice. Vous devez calculer le déterminant de la matrice comme une première étape. Si le déterminant est 0, alors votre travail est terminé, parce que la matrice n'a pas inverse. Le déterminant de la matrice M peut être représenté symboliquement comme det (M). [1]

• Pour une matrice 3x3, trouver le déterminant d'abord
• Revoir trouver le déterminant d'une matrice, voir Trouver la Déterminant d'une matrice 3x3.

Transposer la matrice d'origine. La transposition des moyens de réflexion de la matrice de la diagonale principale, ou de manière équivalente, la permutation (i, j) -ième élément et le (j, i) e. Lorsque vous transposez les termes de la matrice, vous devriez voir que la diagonale principale (de gauche à en bas à droite) est inchangé. [2]

• Une autre façon de penser est que vous transpositeur réécrivez la première ligne comme la première colonne, la ligne médiane devient la colonne du milieu, et la troisième rangée devient la troisième colonne. Remarquez les éléments de couleur dans le schéma ci-dessus et de voir où les chiffres ont changé de position.

Trouvez le déterminant de chacune des matrices 2x2 mineures. Chaque élément de la matrice 3x3 nouvellement transposée est associée à une matrice 2x2 correspondant « mineur ». Pour trouver la matrice droite mineure pour chaque terme, tout d'abord mettre en évidence la ligne et la colonne du terme que vous commencez avec. Cela devrait inclure cinq termes de la matrice. Les quatre termes restants constituent la matrice mineure. [3]

• Dans l'exemple ci-dessus, si vous voulez la matrice mineure du terme dans la deuxième rangée, la première colonne, vous mettez en évidence les cinq termes qui sont dans la deuxième rangée et la première colonne. Les quatre termes restants sont la matrice mineure correspondante.
• Trouver le déterminant de chaque matrice secondaire en coupe multipliant les diagonales et la soustraction, comme illustré.
• Pour en savoir plus sur des matrices mineures et leurs utilisations, voir Comprendre les principes de base de matrices.

Créer la matrice de cofacteurs. Placer les résultats de l'étape précédente dans une nouvelle matrice de cofacteurs en alignant chaque déterminant mineur de la matrice avec la position correspondante dans la matrice d'origine. Ainsi, le facteur déterminant que vous avez calculé à partir de l'article (1,1) de la matrice d'origine va en position (1,1). Vous devez alors inverser le signe de l'alternance termes de cette nouvelle matrice, suivant le modèle « damier » montré. [4]

• Lors de l'affectation des signes, le premier élément de la première rangée conserve son signe d'origine. Le deuxième élément est inversé. Le troisième élément conserve son signe d'origine. Continuer avec le reste de la matrice de cette façon. Notez que le (+) ou (-) signes dans le diagramme ne suggèrent pas checkerboard que le terme final devrait être positif ou négatif. Ils sont des indicateurs de maintien (+) ou marche arrière (-) quel que soit signer le nombre avait à l'origine.
• Pour un examen des cofacteurs, voir comprendre les bases de matrices.
• Le résultat final de cette étape est appelée la Comatrice de l'original. Cela est parfois appelée la matrice adjointe. La matrice de adjugate est noté comme Adj (M).

Diviser chaque terme de la matrice adjugate par le déterminant. Rappelons le déterminant de M que vous avez calculé dans la première étape (pour vérifier que l'inverse est possible). Vous divisez maintenant chaque terme de la matrice par cette valeur. Placez le résultat de chaque calcul en place du terme d'origine. Le résultat est l'inverse de la matrice d'origine. [5]

• Pour la matrice de l'échantillon indiqué dans le diagramme, le déterminant est 1. Par conséquent, en divisant chaque terme des résultats de Comatrice dans la matrice adjugate elle-même. (Vous ne serez pas toujours aussi chanceux.)
• Au lieu de diviser, certaines sources représentent cette étape que la multiplication de chaque terme de M par 1 / det (M). Mathématiquement, ce sont équivalents.

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