À un réseau de diffraction
À un réseau de diffraction
Numéro de travail: 1969
Un réseau de diffraction avec une période de rainure \ (B \) ayant \ (\ n) des fentes au total est éclairé avec une lumière de longueur d'onde \ (\ lambda \). Un écran est positionné parallèlement à la grille à une discance \ (L \).
Évaluer la distribution de l'intensité lumineuse sur l'écran, en supposant que les fentes sont des sources de lumière cohérentes avec leur largeur étant beaucoup plus faible que leur espacement. Évaluer la distance entre les maxima du spectre de diffraction.
- Les fentes sont illuminées avec une onde plane harmonique qui est polarisée suivant la direction des fentes et tombe perpendiculairement sur le réseau.
- Considérer des fentes très étroites - de sorte que le premier minimim de diffraction de la lumière à une seule fente est loin de l'écran. En d'autres termes, on présume que l'éclairage de l'écran à travers une fente de la distance d'écran donnée et la largeur de fente serait uniforme.
- Résoudre la tâche dans l'approximation de Fraunhofer de diffraction, \ (L \ gg nb \).
Cette tâche est une extension de l'expérience d'interférence de la tâche Young. où seulement deux slist sont utilisés. Le résultat de la tâche actuelle devrait se condenser aux mêmes équations \ (n = 2 \).
- Nous utilisons la représentation complexe de l'onde électromagnétique dans cette tâche, qui est introduit en détail dans une tâche connexe. Il est également utilisé dans la tâche de représentation complexe et harmonique plan Wave.
- Nous sommes censés résoudre la tâche dans l'approximation de diffraction de Fraunhofer, à savoir un écran très lointain. Cette condition nous permet de faire plusieurs simplifications utiles lors du calcul.
- Il ne se produit aucun changement de la polarisation (direction du vecteur champ électrique) de la lumière incidente pour sa polarisation étant dirigé le long des fentes. Il suffit donc de résoudre les équations de l'intensité du champ électrique.
- Les fentes sont très étroites, nous supposons que l'éclairement de l'écran à partir d'une fente unique serait uniforme. Nous considérons donc les fentes pour être des sources linéaires d'ondes cylindriques. Le champ électrique d'une onde cylindrique à une distance \ (r \) de sa fente source est \ [E_ \ mathrm (t, r) = \ frac_0 >> e ^, \] où \ (\ mathcal_0 \) est une quantité connexe à l'intensité de la lumière tombant sur la fente et à la largeur de la fente.
- À une grande distance, les ondes cylindriques peuvent être assumées localement pour être plane et l'intensité de lumière du champ électrique résultant peut être calculé en utilisant la formule simple pour des ondes planes: \ [I = \ frac EE ^ *, \] où astérisque désigne le conjugué complexe et \ (z_0 = \ sqrt> \) est l'impédance du vide.
- On peut rapprocher, pour de petits angles \ (\ delta \ ll 1 \), que \ [\ sin \ delta \, \ à \, \ tan \ delta. \]
Conseil 1 - Superposition de champ électrique
Dessiner une image de la situation à proximité du réseau et indiquer le chemin differencesfor vagues tombant sur l'écran de fentes individuelles. Calculer le champ électrique généré par la somme des ondes avec des chemins \ (l_1, L_2 \) à \ (L_n \).
Ensuite, notez le conjugué complexe du champ électrique résultant \ (E ^ \ star \).
solution Hint 1 - Superposition des champs électriques
Le champ électrique de l'onde provenant du 1 er. 2 e. à n-ième fente en un point donné à l'écran qui se trouve à une \ de distance (l_1, L_2 \) pour \ (L_n \), respectivement, à partir de ces fentes, soit:
Le champ résultant à un moment donné à l'écran est directement la somme de ces champs, car ils sont tous dans le même état de polarisation:
Nous prenons en compte les exposants (phases) de temps et de la distance par rapport à la première fente:
Concentrons-nous maintenant sur le résultat de la sommation. Nous exprimons la différence de trajet de la \ (j \) ième onde par rapport à la première fente au moyen d'un multiple de la constante de réseau \ (B \) un angle \ (\ alpha \).
Nous tirons de la première perpendiculaires fente aux chemins d'onde. Pour un écran lointain assez, on peut considérer les chemins des différentes fentes soient parallèles et tous les angles \ (\ alpha \) être le même.
Il détient alors que
et la différence de chemin d'accès pour le \ (j \) ième fente est:
\ [\ Delta l_j = (j-1) \, b \, \ sin \ alpha. \]
Lors de la substitution dans l'équation (1). on a
Nous pouvons voir que nous faire la somme des \ (n \) premiers termes d'une série géométrique avec le premier terme \ (1 \) et le rapport commun \ (e ^ \). Nous effectuons la somme:
Et nous obtenons le champ électrique résultant après un arrangement simple:
Le conjugué complexe du champ électrique résultant est alors:
Astuce 2 - intensité lumineuse à l'écran
Calculer la dépendance de l'intensité de la lumière de l'angle \ (\ alpha \) à partir de la formule suivante
en utilisant le champ électrique calculé et son conjugué complexe.
solution Hint 2 - intensité lumineuse sur l'écran
Nous utilisons le champ électrique calculé et la formule de l'intensité de la lumière:
Il y a des expressions semblables ont dans le numérateur et au dénominateur de la fraction ci-dessus. Laissez-nous traiter une expression équivalente avec un exposant imaginar général \ (\ xi \) séparément:
Avec les exposants particuliers dans le numérateur et au dénominateur de la fraction en fonction \ (I \), on obtient:
Nous traçons la dépendance \ (I = I (\ sin \ alpha) \)
Nous observons une série de maxima net à l'écran.
Indice 3 - Séparation des maxima majeurs
Évaluer la distance entre les grands maxima d'interférence sur l'écran pour les petits angles \ (\ alpha \).
Déterminer la dépendance de l'espacement des maxima sur \ (L, \, \ lambda \) et \ (B \).
3e indice solution - Séparation des maxima
Pour les petites valeurs de l'angle, \ (\ alpha \ ll 1 \), on peut approximer:
\ [\ Sin \ alpha \, \ à \, \ tan \ alpha = \ frac, \]
où \ (\ alpha \) est l'inclinaison des rayons de la normale à l'écran.
L'équation (2) les rendements après subtituting \ (\ sin \ alpha \) avec \ (\ frac \):
Évaluons la séparation des principaux maxima du motif d'interférence. La fonction périodique dans le dénominateur de la formule d'interférence (3) est modulée par la fonction « rapide » dans le numérateur qui produit un grand nombre (proportionnel à \ (n \)) des maxima d'interférence mineure.
Les maxima de l'intensité de la lumière se produit lorsque la fonction de dénominateur tend vers zéro, ce qui est quand son argument est un multiple entier de \ (\ pi \). Le \ de séparation (s \) des principaux maxima le long de l'axe \ (x \) est donc:
La séparation de la majeure maxima est la suivante:
Le motif d'interférence augmente avec l'augmentation \ distance (L \) de l'écran à partir de la grille et avec une longueur d'onde croissante \ (\ lambda \) de la lumière parasite et il se rétrécit avec le paramètre de réseau augmentant \ (B \).
Le champ électrique de l'onde provenant du 1 er. 2 e. à n-ième fente en un point donné à l'écran qui se trouve à une \ de distance (l_1, L_2 \) pour \ (L_n \), respectivement, à partir de ces fentes, soit:
Le champ résultant à un moment donné à l'écran est directement la somme de ces champs, car ils sont tous dans le même état de polarisation:
Nous prenons en compte les exposants (phases) de temps et de la distance par rapport à la première fente:
Concentrons-nous maintenant sur le résultat de la sommation. Nous exprimons la différence de trajet de la \ (j \) ième onde par rapport à la première fente au moyen d'un multiple de la période de rainure \ (B \) un angle \ (\ alpha \).
Nous tirons de la première perpendiculaires fente aux chemins d'onde. Pour un écran lointain assez, on peut considérer les chemins des différentes fentes soient parallèles et tous les angles \ (\ alpha \) être le même.
Il détient alors que
et la différence de chemin d'accès pour le \ (j \) ième fente est:
\ [\ Delta l_j = (j-1) \, b \, \ sin \ alpha. \]
Lors de la substitution dans l'équation (4). on a
Nous pouvons voir que nous faire la somme des \ (n \) premiers termes d'une série géométrique avec le premier terme \ (1 \) et le rapport commun \ (e ^ \). Nous effectuons la somme:
Et nous obtenons le champ électrique résultant après un arrangement simple:
Le conjugué complexe du champ électrique résultant est alors:
Nous utilisons le champ électrique calculé et la formule de l'intensité de la lumière:
Il y a des expressions semblables ont dans le numérateur et au dénominateur de la fraction ci-dessus. Laissez-nous traiter une expression équivalente avec un exposant imaginar général \ (\ xi \) séparément:
Avec les exposants particuliers dans le numérateur et au dénominateur de la fraction en fonction \ (I \), on obtient:
Nous traçons la dépendance \ (I = I (\ sin \ alpha) \)
Nous observons une série de maxima net à l'écran.
Pour les petites valeurs de l'angle, \ (\ alpha \ ll 1 \), on peut approximer:
\ [\ Sin \ alpha \, \ à \, \ tan \ alpha = \ frac, \]
où \ (\ alpha \) est l'inclinaison des rayons de la normale à l'écran.
L'équation (5) les rendements après subtituting \ (\ sin \ alpha \) avec \ (\ frac \):
Évaluons la séparation des principaux maxima du motif d'interférence. La fonction périodique dans le dénominateur de la formule d'interférence (6) est modulé avec la fonction « rapide » dans le numérateur qui produit un grand nombre (proportionnel à \ (n \)) des maxima d'interférence mineure.
Les maxima de l'intensité de la lumière se produit lorsque la fonction de dénominateur tend vers zéro, ce qui est quand son argument est un multiple entier de \ (\ pi \). Le \ de séparation (s \) des principaux maxima le long de l'axe \ (x \) est donc:
La séparation de la majeure maxima est la suivante:
Le motif d'interférence augmente avec l'augmentation \ distance (L \) de l'écran à partir de la grille et avec une longueur d'onde croissante \ (\ lambda \) de la lumière parasite et il se rétrécit avec le paramètre de réseau augmentant \ (B \).
La disposition de l'intensité lumineuse dans l'approximation d'un écran très éloigné est:
où \ (\ alpha \) est l'angle formé entre le trajet des ondes d'interférence à partir du réseau de diffraction au point donné à l'écran et la normale à l'écran.
on peut tracer la fonction \ (I = I (\ sin \ alpha) \) comme suit:
La relation entre la séparation de la majeure maxima et les autres paramètres de l'expérience est la suivante:
Le motif d'interférence augmente avec l'augmentation \ distance (L \) de l'écran à partir de la grille et avec une longueur d'onde croissante \ (\ lambda \) de la lumière parasite et il se rétrécit avec le paramètre de réseau augmentant \ (B \).
donne des valeurs finies partout.
Pourquoi pas l'augmentation de l'intensité à l'infini pour \ (\ sin \ alpha \ 0 \) qui rend un zéro dans le dénominateur?
En fait, il est impossible d'inspecter le comportement du dénominateur d'une fraction sans regarder le numérateur. Le numérateur tend également vers zéro pour les mêmes valeurs de \ (\ alpha \) et on doit inspecter le comportement limite de la fraction dans son ensemble. En langage mathématique:
Et dans notre cas particulier:
Filtre Liste des tâches?
Choisissez les rangs requis et les tâches requises. La table des matières répertorie uniquement les tâches ayant un des grades requis dans les classements correspondants et au moins l'une des balises nécessaires (globales). Si vous souhaitez filtrer seulement selon certains classements ou balises, laissez les autres groupes vides.
classement des tâches
Niveau Niveau 1 - Niveau secondaire inférieur Niveau 2 - Niveau secondaire supérieur Niveau 3 - Niveau secondaire supérieur Niveau avancé 4 - niveau de premier cycle
Générale tâche qualitative tâche graphique des tâches avec une solution inhabituelle tâche complexe de travail avec la théorie des tâches nécessite des constantes supplémentaires
Tâches de fonctionnement cognitif nécessitant l'identification des faits tâches axées sur les tâches d'analyse axées sur la synthèse des tâches nécessitant une comparaison et Contradistinction tâches nécessitant la catégorisation et de classification des tâches pour identifier les relations entre les faits tâches nécessitant l'abstraction et la généralisation des tâches visant à la spécification des tâches nécessitant des calculs de routine des tâches nécessitant une transformation des faits tâches nécessitant interprétation, explication ou justification tâches nécessitant une induction tâches nécessitant des tâches de déduction visant à prouver, et la vérification des tâches exigeant une évaluation et une évaluation Défier les tâches de physique tâches nécessitant ses propres idées