Carré magique - de Wolfram MathWorld
Un carré magique est une matrice carrée de nombres consistant en les nombres entiers positifs distincts 1, 2. agencé de telle sorte que la somme des nombres dans une ligne diagonale horizontale, verticale, ou principal est toujours le même nombre (Kraïtchik 1942, p 142. Andrews 1960, p 1;. Gardner 1961, p 130;. Madachy 1979, p 84;. Benson et Jacoby 1981, p 3;. ball et Coxeter 1987, p 193), connu sous le nom de la constante magique.
Si chaque numéro dans un carré magique est soustrait, un autre carré magique est appelée la place obtenue magique complémentaire. Un carré constitué de nombres consécutifs commençant par 1 est parfois connu sous le nom magique « normal » carré.
La place normale unique de l'ordre de trois était connu des anciens Chinois, qui l'ont appelée la Lo Shu. Une version du carré magique de commande 4 avec les numéros 15 et 14 dans les colonnes intermédiaires adjacentes dans la rangée du bas est appelé Dücarré magique de Dürer. carrés magiques d'ordre 3 à 8 sont présentés ci-dessus.
La constante magique pour un ième ordre général carré magique en commençant par un nombre entier et avec des entrées dans une série arithmétique croissante avec la différence entre les termes est
(Hunter et Madachy 1975).
Carrés qui sont magiques sous la multiplication au lieu d'addition peuvent être construits et sont connus sous forme de carrés magiques de multiplication. En outre, les carrés qui sont à la fois magique sous addition et de multiplication peuvent être construits et sont connus comme des carrés magiques de multiplication d'addition (Hunter et Madachy 1975).
Kraïtchik (1942) donne des techniques générales de construction et même les places impaires de l'ordre. Pour impair. une technique très simple connu comme le procédé siamois peut être utilisé, comme illustré ci-dessus (Kraïtchik 1942, pp. 148-149). Elle commence en plaçant un 1 à la place du centre de la rangée supérieure, puis en plaçant de façon incrémentielle les numéros suivants dans la place une unité au-dessus et vers la droite. Le comptage est enroulé autour, de sorte que la chute du haut rendement sur le fond et tomber les rendements à droite à gauche. Quand un carré est rencontré qui est déjà rempli, le numéro suivant est plutôt placé sous le précédent et la méthode continue comme avant. La méthode, appelée aussi de la méthode de la Loubère, est censé avoir été la première fois en Occident quand de la Loubère revient en France après avoir servi comme ambassadeur à Siam.
Une généralisation de cette méthode utilise un « vecteur ordinaire » qui donne le décalage pour chaque mouvement noncolliding et un « vecteur de rupture » qui donne le décalage d'introduire lors d'une collision. La méthode standard siamois a donc vecteur ordinaire (1, et briser vecteur (0, 1). Pour que cela pour produire un carré magique, chaque mouvement de rupture doit se terminer sur une cellule non remplie. Classes spéciales de carrés magiques peut être construit par compte tenu des sommes absolues,, et. Appelez l'ensemble de ces chiffres les sumdiffs (sommes et des différences). Si tous les sumdiffs sont premiers à et la place est un carré magique, puis la place est aussi un carré panmagique. Cette théorie est née avec de la embauchez. Le tableau suivant donne les sumdiffs pour certains choix de vecteurs ordinaires et pause.
Un second procédé pour produire des carrés magiques d'ordre impair a été discutée par J. H. Conway sous le nom de procédé « en losange ». Comme illustré ci-dessus, dans ce procédé, les nombres impairs sont construits le long des lignes diagonales en forme de diamant dans la partie centrale de la place. Les nombres pairs qui ont été manquées sont ensuite ajoutés séquentiellement le long de la continuation de la diagonale obtenu en enroulant autour de la place jusqu'à ce que la diagonale enroulée atteigne son point initial. Dans le carré ci-dessus, la première diagonale remplit donc à 1, 3, 5, 2, 4, les deuxièmes remplissages diagonales en 7, 9, 6, 8, 10, et ainsi de suite.
Une méthode élégante pour construire des carrés magiques d'ordre doublement même est de dessiner s dans chaque sous-carré et remplir toutes les cases dans l'ordre. Ensuite, remplacer chaque entrée sur une diagonale de traversée par ou, ce qui revient, inverser l'ordre des entrées barrées. Ainsi, dans l'exemple ci-dessus pour, les numéros barrées sont à l'origine 1, 4. 61, 64, donc l'entrée 1 est remplacé par 64, 4 avec 61, etc.
Une très élégante méthode pour construire des carrés magiques de Singly même ordre avec (il n'y a pas de carré magique d'ordre 2) est due à J. H. Conway, qui appelle la méthode « LUX ». Créer un tableau constitué de lignes de S, une ligne de nous, et des rangées de s, l'ensemble de la longueur. Échanger le milieu U avec la L-dessus. Maintenant générer le carré magique d'ordre en utilisant le procédé siamois centrée sur le tableau de caractères (à partir de la place du centre de la rangée supérieure), mais remplir chaque ensemble de quatre carrés autour d'une séquence de lettre selon l'ordre prescrit par la lettre. Cet ordre est illustré sur le côté gauche de la figure ci-dessus, et le carré complété est illustré à droite. Les « formes » des lettres L, U, X et suggèrent naturellement l'ordre de remplissage, d'où le nom de l'algorithme.
Des variations sur les carrés magiques peuvent également être construits en utilisant des lettres (que ce soit dans la définition de la place ou comme entrées dans celui-ci), tels que le carré alphamagic et carré magique templar.
Andrews, W. S. et Sayles, H. A. « carrés magiques Fait avec nombres premiers ont les plus bas possibles Sommations. » Monist23. 623-630, 1913.
Ball, W. W. R. et Coxeter, H. S. M. "carrés magiques." Ch. 7 Mathématiques Récréations et Essais, 13e éd. New York: Dover, 1987.
Barnard, F. A. P. "Théorie des carrés et les cubes magiques." Mémoires Natl. Acad. Sci.4. 209-270, 1888.
Frénicle de Bessy, B. « Des tables de OU les Magiques. Table des quarrez Avec Generale de Magiques de coût quatre saisonsé. » In Divers de Mathéde Physique et matique, par de l'Acad MessieurséMIE Royale des Sciences (Ed. P. de la location). Paris: De l'Imprimerie Royale par Jean Anisson, pp 423-507, 1693. Reproduit comme Mem.. de l'Acad. Roy. des Sciences5 (pour 1666-1699), 209-354, 1729.
Fults, J. L. carrés magiques. Chicago, IL: Open Court, 1974.
Gardner, M. "carrés et des cubes magiques." Ch. 17 en temps Voyage et autres mathématiques éblouissements. New York:. W. H. Freeman, pp 213-225, 1988.
Hirayama, A. et Abe, G. Magic Squares recherches dans. Osaka, Japon: Osaka Kyoikutosho, 1983.
Horner, J. "Sur l'algèbre des carrés magiques, I. II. Et III." Litre. J. Pure Appl. Math.11. 57-65, 123-131, et 213-224, 1871.
Hunter, J. A. H. et Madachy, J. S. "Les tableaux Mystic." Ch. 3 en mathématiques dérivations. New York:. Dover, pp 23-34, 1975.
Kraïtchik, M. « carrés magiques. » Ch. 7 en mathématiques Recreations. New York:. Norton, pp 142-192, 1942.
Madachy, J. S. "carrés magiques et antimagie." Ch. 4 mathématiques Récréations de Madachy. New York:. Dover, pp 85-113, 1979.
Pappas, T. "carrés magiques", "The Magic Square 'Special'", "La méthode Pyramide pour Making Magic Squares", "Place Ancient Magic tibétaine", " 'ligne.' Magic" et « Un carré magique chinois. " La joie de mathématiques. San Carlos, CA:. World Wide Publ./Tetra, pp 82-87, 112, 133, 169 et 179, 1989.
Sloane, N. J. A. Séquence A006052 / M5482 dans « L'Encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers. »