Fonctions parents et transformations - She Loves Math
Cette section couvre:
Remarques sur le comportement final. Pour obtenir le comportement de fin d'une fonction, nous regardons seulement les plus petites et les plus grandes valeurs de x. et voir de quelle manière la y va. Toutes les fonctions ont un comportement final défini; par exemple, ceux qui vont dans les deux sens avec les valeurs y et ne vont jamais vraiment vers le haut ou en bas (appelés « fonctions périodiques ») n'ont pas les comportements finaux.
La plupart du temps, notre comportement final ressemble à quelque chose comme ceci: \ (\ displaystyle \ BeginX \ à - \ infty \ texte \, y \ à \\ x \ à \ infty \ text \, \, \, y \ à ? \ end \) et nous devons remplir la partie y. Ainsi, le comportement final pour une ligne avec une pente positive est: \ (\ BeginX \ à - \ infty \ texte \, y \ à - \ infty \\ x \ to \ infty \ text \, \, \, y \ à \ infty \ end \).
Il y a quelques exceptions; Par exemple, parfois x commence à 0 (comme dans la fonction radicale), on n'a pas la partie négative du comportement de fin de x. En outre, lorsque x commence très proche de zéro (par exemple dans la fonction journal), on indique que x commence du côté positif (à droite) de 0 (et y est en baisse); nous indiquons par \ (\ displaystyle x \ à ^> \ text \, y \ à - \ infty \).
Vous aurez probablement étudier certaines fonctions mères « populaires » et de travailler avec ceux-ci pour apprendre à transformer les fonctions - comment les déplacer. Nous appelons ces fonctions de base fonctions « parent », car ils sont la forme la plus simple de ce type de fonction, ce qui signifie qu'ils sont aussi proches qu'ils peuvent obtenir à l'origine \ (\ left (\ right) \).
Le tableau ci-dessous fournit des fonctions parentales de base que vous devriez être au courant. J'ai aussi inclus les points d'ancrage. ou des points critiques. les points avec lesquels pour représenter graphiquement la fonction parent.
Lorsque l'on regarde l'équation de la fonction déplacée. cependant, nous devons être prudents.
Il existe plusieurs façons d'effectuer des transformations des fonctions parentales; J'aime utiliser les cartes t. car ils travaillent toujours avec toujours la fonction.
Les transformations verticales
Voici les règles et exemples de cas où les fonctions sont transformées sur le « extérieur » (notez que les valeurs y sont affectées). Les tableaux de t-comprennent des points (paires ordonnées) des fonctions de parent d'origine, ainsi que les points transformés ou décalés.
Notez que les deux premières transformations sont des traductions. la troisième est une dilatation. et le dernier est le reflet.
Les transformations horizontales
(Je ne comprend pas la fonction de valeur absolue pour le retournement horizontal, car il sera juste la même fonction!)
Notez que les deux premières transformations sont des traductions. la troisième est une dilatation. et le dernier est le reflet.
La plupart des problèmes que vous obtiendrez impliquera des transformations mixtes. ou plusieurs transformations, et nous avons besoin de vous soucier de l'ordre dans lequel nous effectuons les transformations.
Il n'a généralement pas d'importance si nous faisons les changements x ou les changements y d'abord, mais dans les s « s et y » x, nous devons effectuer les transformations dans l'ordre suivant. (Notez que c'est une sorte de semblable à l'ordre avec PEMDAS (entre parenthèses, exposants, multiplication / division, et la soustraction d'addition).
Lors de l'exécution de ces règles, les coefficients de l'intérieur x doit être 1; par exemple, nous aurions besoin d'avoir \ (y = \ droite)> \ right)> ^> \) au lieu de \ (y = \ right)> ^> \) (par l'affacturage). Si vous ne avez pas appris cette façon, voir ci-dessous REMARQUE IMPORTANTE.
Voici l'ordre:
- Retournement effectuer à travers les axes premiers (signes négatifs).
- Effectuer Stretching et Shrinking suivant (multiplication et division).
- Effectuer horizontale et verticale déplace la dernière (additionner et soustraire).
Mais nous pouvons faire les étapes 1 et 2 ensemble (ordre d'importance ne fait pas), puisque nous pouvons penser aux deux premières étapes comme un « étirement négatif ».
Notez encore que, puisque nous n'avons pas x « par lui-même » (coefficient de 1) à l'intérieur, nous devons le faire de cette façon par l'affacturage! Par exemple, il nous faudrait changer \ (y = \ right)> ^> \ texte< to >y = \ right)> \ right)> ^> \).
Essayons de représenter graphiquement cette équation « complexe » et je vais vous montrer comment il est facile de le faire avec un tableau à deux colonnes:
(Notez que pour cet exemple, nous pourrions déplacer le \ (^> \) vers l'extérieur pour obtenir un étirement vertical de 12 mais nous ne pouvons le faire pour de nombreuses fonctions.)
Nous devons d'abord obtenir le x par lui-même à l'intérieur par l'affacturage. afin que nous puissions effectuer les traductions horizontales. C'est ce que nous nous retrouvons avec:
Donc, nous commençons avec la fonction \ (f (x) = ^> \). Si nous regardons ce que nous faisons à l'extérieur de ce qui est carré, ce qui est le \ (\ displaystyle \ left (\ right)> \ right) \), nous retournant (le signe moins), stretching par un facteur de 3. et en ajoutant 10 (déplacement jusqu'à 10). Ce sont les choses que nous faisons verticalement. ou pour l'y.
Rappelez-vous aussi que nous avons toujours à faire la multiplication ou division d'abord avec nos points puis l'addition et la soustraction (un peu comme PEMDAS).
Remarque: Vous pouvez voir les transformations mixtes sous la forme \ (g \ left (x \ droite) = a \ cdot f \ left (> \ right) \ left (\ right)> \ right) + k \), ou avec un coordonner règle \ (\ left (\ right) \ to \ left (x + h, \, \, ay + k> \ right) \), où a est le tronçon vertical, b est le tronçon horizontal, h est l'horizontale décaler vers la droite. et k est le décalage vertical vers le haut. Notre transformation est \ (g \ left (x \ right) = - 3f \ left (> \ right) \ left (\ right)> \ right) 10 \), ou, en utilisant des coordonnées, \ (\ boldsymbol \ right) \ à \ left (\ right) >> \).
Voici le tableau en T avec la fonction d'origine, puis les transformations sur le côté extérieur. Maintenant, nous pouvons représenter graphiquement les points à l'extérieur (points qui ne sont pas barrées) pour obtenir le graphique de la transformation:
Remarque. Étant donné que c'est une parabole. nous aurions pu aussi la transformation en représentation graphique de remarquer (par la forme de sommet) que le sommet est \ (\ left (\ right) \), comme nous l'avons fait dans l'introduction à la section quadratiques ici. Ensuite, en déplaçant le \ (^> \) vers l'extérieur pour faire un étirement vertical de 12 nous pourrions aller au-dessus (et arrière) 1 et 12 vers le bas à partir du sommet pour obtenir d'autres points. Cool!
Notez que cette transformation prend la fonction d'origine, il retourne autour de l'axe y. effectue un étirement horizontal par 2. se déplace à droite de 1. et puis vers le bas par trois.
Rappelez-vous si vous rencontrez des problèmes dessiner le graphique des couples transformées, juste prendre plus de points à partir du graphique original carte à la nouvelle!
Notation fonctionnelle Transformation utilisant l'algèbre
Disons que nous voulons utiliser une transformation « de notation de fonction » pour transformer un parent ou d'équation non parent. Nous pouvons faire cela sans l'aide d'un tableau à deux colonnes. mais en utilisant la substitution et l'algèbre.
Par exemple, si l'on veut transformer \ (f \ left (x \ droite) = ^> + 4 \) en utilisant la transformation \ (\ displaystyle -2F \ left (\ right) +3 \), nous pouvons simplement remplacer « x - 1” pour « x » dans l'équation de départ, il faut multiplier par -2. puis ajouter 3.
Par exemple: \ (\ displaystyle -2F \ left (\ right) + 3 = -2 \ left (\ right) >> ^> + 4> \ right) 3 \) \ (\ displaystyle = -2 \ left ( ^> - 2x + 1 + 4> \ right) + 3 = -2 ^> + 4x-7 \).
Nous avons utilisé cette méthode pour aider à transformer une fonction définie par ici.
Autres exemples de transformations mixtes:
Voici quelques autres exemples (en utilisant des tableaux de T), avec des fonctions parentales différentes.
En outre, le dernier type de fonction est une fonction rationnelle qui sera discuté dans la section Fonctions rationnelles.
Voici une transformation mixte avec la fonction GreatestInteger (parfois appelée la fonction au sol). Notez comment nous pouvons utiliser des intervalles que les valeurs de x pour rendre la fonction transformée plus facile de dessiner:
Vous pourriez être invité à écrire une équation transformée, donner un graphique. Beaucoup de fois, vous pouvez simplement dire en regardant, mais parfois vous devez utiliser un point ou deux. Et vous ne devez faire attention et vérifier votre travail, puisque l'ordre des transformations peut la matière.
Le deuxième exemple a été trouvé ici dans les quadratiques Solving Factoring et complétant la section carrée; le dernier sera affiché ici dans la section Fonctions exponentielles.
Nous trouverons une équation transformée à partir d'un graphique de valeur absolue dans la section ci-dessous Valeur absolue:
Je voudrais savoir le processus par lequel vous avez des points, et vous savez les transformations générales vont être le vôtre, à savoir comment faire ces problèmes en sens inverse.
Voici un exemple avec la réponse. Compte tenu des points d'origine pour f (x) sont (-10,2), (-5,8), (0,2), (2,5) et (7,5) et les points sont transformées (-7, -3 ), (-2,9), (3, -3), (5,3) et (10,3).
La réponse est la nouvelle fonction h (x) = 2f (x-3) -7. Ce qui est une façon systématique de faire cela?
f (x) = x - 5. Écrire la règle de la fonction G (x), qui est f (x) traduit deux unités vers le haut.
Tapez votre réponse en règle de fonction pour g (x), comme ceci: g (x) = 14x - 12 Comment puis-je faire?
Merci pour l'écriture! Pour ce problème, je suis arrivé g (x) = f (x) + 2. Lorsque vous déplacez une fonction en deux unités, vous ajoutez 2 à y, si g (x) sera g (x) = x - 5 + 2 ou g (x) = x - 3. Est-ce sens? Lisa
Pour le premier problème, étant donné que le 2 est à l'extérieur, votre professeur voulait probablement « un étirement vertical de 2 ». Pour le deuxième problème, vous devez ajouter « la compression verticale de 1/3 ». Pour le troisième problème, étant donné que le 5 est à l'intérieur, ce serait une « compression horizontale de 1/5 ». Est-ce que ça a du sens?
Je besoin d'aide à ce problème:
La fonction mère, f (x) = | x |, a été transformé en g (x) = ¼ | x-6 | +10. Décrire la transformation de f (x). (Dans l'ordre correct).
Merci pour l'écriture! Les transformations du y sont de réduire la fonction de valeur absolue par un facteur de 4 (ou d'étirage de 1/4) et ajouter 10. La transformation de la x est de déplacer le graphique 6 unités vers la droite. L'ordre serait déplacer le graphique à droite, rétrécir les y, puis ajoutez 10 à y. Cela a-t-il du sens? Lisa
Je comprends que les transformations sont fait pour PEMDAS, mais mon manuel présente les exemples suivants qui semblent contredire:
1. f (x) = 3 ^ (3 x-5); la solution donnée est de traduire 5 unités vers la droite, suivie d'une rétraction horizontale par un facteur de 1/3.
2. h (x) = 3 ^ [3 (x-5)]; la solution donnée est une rétraction verticale par un facteur de 1/3, suivie d'une traduction de 5 unités vers la droite.
Toute aide serait grandement appréciée.
Bryan,
Merci pour l'écriture! Vous avez un résolu un grand mystère pour moi! Oui, votre livre est correct. Si vous ne prenez pas le 3 sur (comme faire 3 (x - 5/3), comme je suggère), alors vous déplacer vers la droite d'abord, et faire le psy horizontal par un tiers. Je vous conseille de faire le coefficient 1 de x comme je le fais avec 3 (x - 5/3), de sorte que vous pouvez suivre PEMDAS. Mais maintenant, je comprends pourquoi certains disent le faire votre chemin - et j'ai ajouté une note à ce sujet dans ma page web. MERCI BEAUCOUP. Lisa (ce fait sens?)
Beau! Merci pour la réponse rapide et utile.
Merci de mettre ensemble. Très utile.
Une chose juste pour que je suis clair, disons que l'équation est y = -2sqrt (-3x + 9) -5. Tant que je le facteur -3 pour le rendre y = -2sqrt (-3 (x-3)) - 5, il n'a pas d'importance quel ordre j'écris des réflexions et des étirements / rétrécit dans, juste que les traductions sont dernier?
Je peux donc écrire l'ordre:
le reflet de l'axe x, le reflet de l'axe Y, par étirement vertical 2, par rétraction horizontale 1/3, 3 droite, vers le bas 5
et ce serait la même chose que dire, par exemple,
rétrécissement horizontal par un tiers, reflètent l'axe y, reflète l'axe x, tronçon vertical par 2, 3 droite, 5 vers le bas.
En d'autres termes, à condition d'factoriser comme je l'ai fait, les quatre premières transformations que j'ai écrit peuvent être écrites dans un ordre quelconque, il suffit de mettre les deux traductions durent?
Wooww fantastique c'est une bonne information hehe vous remercie pour cela est que j'aime hehe post agréable ya de Subhanallah
Merci pour l'écriture! Mathway est plus comme un programme pour saisir des problèmes et voir les étapes. Je regarderais dans Wolfram Alpha - et il est aussi une application gratuite! Je pense que MatLab pourrait être un autre programme pour entrer. J'espère que cela pourra aider! Lisa
Lorsque vous regardez le graphique et essayer d'écrire la fonction, comment savez-vous si, si la dilatation affecte a ou b? Je vois généralement que la fonction par défaut utilisée est pour trouver un.
hey j'ai une question si je devais essayer de trouver la fonction de parent sqrt x-2 +4 la fonction parent est tout simplement sqrt x droit?
Cependant, de nombreux étudiants cette année pétitionné qu'ils me voulaient enseigner et je a finalement été convaincu. Il a pris un certain temps pour se préparer pour eux et je me sentais la responsabilité et le souci de faire la petite « bizarre » erreur.
Merci beaucoup ... Je espère que toutes vos pages sont aussi détaillées que cela et je ne peux pas imaginer combien de temps il doit prendre pour offrir un service gratuit .. les dépenses
Ils disent qu'un enseignant ne comparaît pas après une seule personne ... mais plutôt les générations à venir ... Je pense que vous faites certainement que
Puis-je vérifier si la transcription sur cette page ci-dessous devrait être « gauche » 8 au lieu de « droit » 8?
Cher Lisa, je dois décrire les transformations du second degré par rapport à la fonction parent. Pensez-vous que vous pourriez aider?
(X) = x2 - 8x + 9
f (x) = (x2 - 8x + 16) - 9 - 16
f (x) = (x - 4) 2-25
Merci pour l'écriture! Cette fonction serait déplacée vers la droite 4 et vers le bas 25. Ainsi, le nouveau sommet serait à (4, 25). Cela a-t-il du sens? Lisa
Salut,
J'ai une mission où nous devons écrire une équation pour une fonction qui passe par quelques points violets. Est-il possible que vous pouvez aider?
Merci pour l'écriture! Vous avez ce correct - mais la première partie du second terme juste à intégrer (1/2) ln (x ^ 2 + 1) - vous n'avez pas besoin d'introduire TRIG. Cela a-t-il du sens? Lisa