Longue polynomiale Division, Purplemath
Purplemath
Si vous diviser un polynôme par quelque chose de plus compliqué qu'un simple monôme (qui est, par quelque chose de plus compliqué qu'un polynôme un terme), alors vous aurez besoin d'utiliser une autre méthode pour la simplification. Cette méthode est appelée « longue division polynomiale », et il fonctionne exactement comme la longue division (numérique) vous avez fait à l'école primaire, sauf que maintenant vous divisant les variables.
Diviser x 2 - 9x - 10 par x + 1
Pensez à quand vous faisiez longue division avec les anciens numéros simples. Vous auriez donné un numéro (appelé le diviseur) que vous deviez diviser en un autre numéro (appelé le dividende). Vous configurez le symbole de longue division, les deux nombres inséré où ils appartenaient, puis commencé à faire des suppositions quant à ce qui devrait aller au-dessus du symbole.
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Et vous ne l'avez pas deviné toute réponse tout de suite; à la place, vous avez commencé à travailler sur la partie « avant » (à savoir la partie de la valeur plus grande place) du numéro divisaient. Par exemple, si vous divisez 1137 par 82. vous regarderais le « 8 » et le « 10 », et devinez qui probablement « 1 » devrait aller au-dessus, au-dessus du « 11 », parce que 8 fois en correspond 11.
longue division pour polynômes fonctionne de la même façon:
Tout d'abord, je vais mettre en place la division, mettre le dividende (la chose étant divisée en) à l'intérieur et le diviseur (la chose à faire la séparation) à l'extérieur et à gauche:
Pour le moment, je vais ignorer le passé tout les termes principaux. Tout comme avec la longue division numérique, je vais juste regarder le premier x du diviseur et le premier x 2 du dividende.
Si je divise le premier x 2 à l'intérieur par le premier x devant, qu'est-ce que j'obtenir? Je reçois un x. Donc, je vais mettre un x au-dessus du symbole de la division, juste au-dessus x 2 à l'intérieur:
Maintenant, je vais prendre que x au-dessus, et je vais multiplier à travers le diviseur, x + 1. Tout d'abord, je vais multiplier les x (sur le dessus) par les x (sur le « côté »), et porte la résultant x 2 ci-dessous, en le mettant directement en dessous du x 2 par rapport au dividende:
Ensuite, je multiplie les x (en haut) par le 1 (sur le « côté »), et la porte 1x dessous, en le mettant directement en dessous de la -9x du dividende:
Ensuite, je vais dessiner l'horizontale « égale » bar sous ce que je viens de mettre sous le dividende, donc je peux faire la soustraction.
Pour soustraire les polynômes, je change d'abord tous les signes de la seconde ligne.
puis-je ajouter vers le bas. Le premier terme (x 2) annulera (par la conception), tandis que le -9x - 1x devient -10x:
Je dois me rappeler de porter vers le bas que le dernier terme (qui est, le « soustraire dix » terme) du dividende:
À ce stade, je commence à ignorer le dividende, et de travailler plutôt sur la ligne de fond de ma division.
Je regarde le x du diviseur et le nouveau terme principal, le -10x. dans la dernière ligne de la division. Si je divise la -10x par le x. Je finirais avec -10. donc je vais mettre que sur le dessus, juste au-dessus du -9x:
Maintenant, je vais multiplier le -10 (en haut) par le premier x (sur le « côté »), et porter le -10x vers le bas, directement au-dessous de -10x de la ligne précédente:
et je vais multiplier le -10 (au-dessus) par le 1 (sur le « côté »), et la porte -10 vers le bas, directement au-dessous de la ligne précédente de -10:
Je dessine une autre horizontale « égale » bar, et de changer les signes sur tous les termes de la rangée du bas:
Puis-je ajouter en bas:
De par sa conception, les 10x « s annulé au large. Par hasard, les 10 « s annulé au large, aussi. Alors ma réponse, à travers le haut du symbole de la division, est:
Étant donné que le reste de la division ci-dessus était zéro (qui est, car il n'y avait rien qui reste), la division « est sorti même ». Lorsque vous faites division régulière avec les chiffres et la division « sort même », cela signifie que le numéro est divisé par un facteur du numéro que vous diviser.
Par exemple, si vous divisez 50 par 10. la réponse sera une belle « 5 » pur avec un reste égal à zéro, parce que 10 est un facteur de 50.
Dans le cas de la division polynomiale ci-dessus, le reste zéro nous dit que x + 1 est un facteur de x 2 - 9x - 10. que vous pouvez confirmer par l'affacturage du dividende quadratique original, x 2 - 9x - 10. Chaque fois que vous obtenir un reste nul, le diviseur est un facteur du dividende.
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Soit dit en passant, de prendre note de la façon dont je me suis dit ce qu'il faut mettre au-dessus du symbole de longue division dans l'exercice ci-dessus: je partageais le premier terme de tout ce que je divisait dans le premier terme de ce que je diviserai par. Peu importe si une division particulière aura un reste non nul, cette méthode donne toujours la bonne valeur pour ce dont vous avez besoin sur le dessus. De cette façon, la division longue polynôme est plus facile que la longue division numérique, où il fallait deviner-n-vérifier pour savoir ce qui se passait au-dessus.
Faisons un exemple avec une division qui sort « même », afin que nous puissions vérifier nos résultats en faisant la factorisation et l'annulation.
Cette fraction de réduction peut être effectuée dans l'une de deux façons: je peux tenir le second degré, puis annuler le facteur commun, comme celui-ci:
Mais si je ne savais pas comment factoriser (ou si je dois « montrer mon travail » pour la longue division polynomiale sur un test)? Comme précédemment, je vais commencer la longue division en travaillant avec les principaux termes du diviseur et le dividende.
Le premier terme du dividende est x 2 et le premier terme du diviseur est x. 2 x par division x me donne x. de sorte que ce que je mets sur le dessus, directement au-dessus x 2 du dividende:
Ensuite, je multiplie les x sur le dessus sur le diviseur x + 7. x et mettre le résultat 2 + 7 en dessous du dividende:
Ensuite je dessine l'horizontale « est égal à » bar, changer les signes, ajouter vers le bas, et porter le bas +14, obtenir 2x + 14 sous la « égale » bar:
En divisant le premier 2x par le premier x du diviseur me donne 2. si c'est ce que je mets au-dessus du symbole de la division, juste au-dessus du 9x du dividende:
Ensuite, je multiplie ce 2 sur le dessus contre le x + 7. et mettre le résultat, 2x + 14 au-dessous:
Ensuite, je change les signes, et ajouter vers le bas, obtenir un reste zéro:
La réponse à la division est le quotient, étant le polynôme en haut du symbole à long division: