Prouver irrationalité - Mathématiques Stack échange
Il y a beaucoup de preuves de l'irrationalité, et certains d'entre eux sont tout à fait différents les uns des autres. Le plus simple que je sais est une preuve que \ log_2 3 $ est irrationnel. Ici, il est: rappelez-vous que de dire qu'un nombre est rationnel est-à-dire qu'il est $ a / b $, où $ a $ et $ b $ sont des nombres entiers (par exemple 5/7 $ $, etc.). Supposons donc $ \ log_2 3 = a / b $. Étant donné que c'est un nombre positif, nous pouvons prendre $ a $ et $ b $ à être positif. Alors $$ 2 ^ = 3. $$ $$ 2 ^ a = 3 ^ b. $$ Mais cela dit un nombre pair est égal à un nombre impair. C'est impossible. D'où \ $ log_2 3 $ ne peut être rationnel.
Le plus connu et le plus ancien de la preuve irrationalité est une preuve que $ \ sqrt $ est irrationnel. Je vois que c'est déjà affiché ici. Voici une autre preuve de ce même résultat:
Supposons qu'il est rationnel, à savoir $ \ sqrt = n / m $. Nous pouvons prendre n $ $ et $ m $ à être positif et la fraction à en termes les plus bas. Ensuite, un peu d'algèbre montre que $ (2 m-n) / (n-m) $ est aussi égal à $ \ sqrt $, mais est en termes encore plus bas. C'est une contradiction. Par conséquent, il est impossible pour $ \ sqrt $ pour être rationnelle.
Il est pas très difficile de montrer que $ e $, la base des logarithmes naturels, est irrationnel.
Pour montrer que $ \ pi $ est irrationnel est beaucoup plus difficile --- en fait, si fort qu'il n'a pas été fait jusqu'à ce que le 18ème siècle.
« Pour montrer que $ \ pi $ est irrationnel est beaucoup plus difficile --- en fait, si fort qu'il n'a pas été fait jusqu'à ce que le 18ème siècle. » Pour le compte rendu (et de choisir un peu nit mineur), $ e $ a été prouvé irrationnelle en 1737 (par Euler) et $ \ pi $ a été prouvé irrationnelle en 1767 (par Lambert), à la fois au 18ème siècle, de sorte que le une partie de « pas fait jusqu'à ce que le 18ème siècle » est un peu égaré (mais pas la partie sur $ \ pi $ étant plus difficile à prouver irrationnelle, bien sûr). La preuve pour $ \ log_3 $ est un bel exemple, par le chemin. Peter, vous devriez regarder les numéros de livre d'Ivan Niven: rationnels et irrationnels. - Dave L. Renfro 8 septembre '11 à 17h34
Eh bien, $ \ pi $ a été pensé dans les temps anciens --- au IIIe siècle avant JC par Archimedes, qui a montré que 3 + 10/71 $ < \pi < 3 + 1/7$. It was two millennia after that that $\pi$ was shown to be irrational. I suspect that $e$, on the other hand, might not have been considered until the 1500s or 1600s. So it took a much shorter time. - Michael Hardy Sep 8 '11 at 17:56
Et parfois, il est possible de prouver simplement « directement ».
Un nombre réel $ r $ est rationnel s'il existe des entiers $ a b $ et $ $, $ b \ neq 0 $, tel que $ \ displaystyle r = \ frac $.
Par exemple, les anciens greeks prouve que $ \ sqrt $ n'a pas été rationnelle par la contradiction:
De même, on peut montrer que pour tout entier positif $ n $ et tout entier positif $ m $, $ \ sqrt [m] $ est un entier, ou il est irrationnel (la preuve utilise soit unique factorisation d'entiers en nombres premiers ou quelque chose similaire).
Voici un autre exemple de ce que nous savons et rationals irrationnels: il est un corollaire à un théorème de Hurwitz de 1891:
Si $ x $ est irrationnel, alors il y a une infinité d'entiers $ p $ et q $ $, $ q \ neq 0 $, avec $ p $ et le partage $ q $ aucun facteur commun autre que 1 $ $ et $ -1 $, de telle sorte que $$ \ left | X- \ frac\ Right | \ Lt \ fracq ^ 2>. $$
Si vous pouvez montrer que pour un $ x $ donnée, l'inégalité ne dispose que de nombreuses solutions finiment, la conclusion est que $ x $ doit être rationnelle.
De même, il y a des théorèmes qui nous renseignent sur les nombres algébriques (racines de polynômes à coefficients entiers). Chaque nombre rationnel est algébrique (puisque $ \ frac $ est la racine de bx-a $ $); si vous pouvez prouver un certain nombre n'est pas algébrique, alors il doit être irrationnel. Par exemple, on peut prouver que $ e $ et que $ \ pi $ sont transcendantale, mais montrant qu'ils ne peuvent pas être les racines de tout polynôme à coefficients entiers; en particulier, ils ne peuvent pas être rationnels non plus.
Je donne l'exemple suivant.
Proposition. S'il existe deux séquences entières $ a_ $ et b_ $ $ tel que $$ 0<|b_\alpha -a_|\rightarrow 0,$$ then $\alpha $ is an irrational number.
Preuve. Supposons $ \ alpha = p / q \ in \ mathbb $. Pour $ n $ assez grande la séquence entière $ \ left \ vert pb_-qa_ \ right \ vert <1$ and $pb_-qa_\neq 0$, which is impossible.
Dans sa preuve de l'irrationalité de $ \ zeta (3) $ Roger Apéry a présenté les séquences suivantes (voir cet article par van der Poorten et celui-ci, en français, par Stéphane Fischler):
Les séquences $ a_ = 2d_ ^ u_ $ et b_ $ = 2d_ ^ v_ $, où $ d _ = \ texte (1,2, \ ldots, n) $, sont des séquences entières dont le rapport converge vers $ \ zeta (3) $
$$ 0< b_\zeta (3)-a_=O\left(\beta^n\right) ,$$ with $\beta=\left( 1-\sqrt\right) ^e^<1.$
Voir les exemples 1 et 2 pour les preuves de l'irrationalité de $ \ sqrt $ et cette entrée $ e $ de The Tricky
Pour prouver qu'un nombre est irrationnel, montrer qu'il est presque rationnelle
Librement parlant, si vous pouvez approximativement $ \ alpha $ et par rationals, alors $ \ alpha $ est irrationnel. Cela se révèle être un point de départ très utile pour les preuves de l'irrationalité.
Il est très facile de construire un ensemble infini de irracionales que, de plus, sont $ \ rm \ mathbb Q $ -linéaire indépendant, à savoir $ \, \ rm \\> $ avec $ \ rm \\> = $ tous les nombres premiers impairs. Car si $ \ rm \ c_1 \ log_2p_1 + \ cdots + \ c_ \ log_2p_ = \, c_o, \, $ $ \ rm \, c_ \ in \ mathbb Q, $, alors, par mise à l'échelle par un dénominateur commun de tous $ \ rm \ , c _, \, $ on peut supposer que tous les \ $, \ rm C_ \ in \ mathbb Z. \ $ exponentiation $ \, \ rm x \ 2 ^ $ cède $ \ rm \ p_1 ^ \ cdots p_n ^ = 2 ^, \, $ où tous $ \ rm \, c_ = 0 \, $ par l'unicité des facteurs premiers (tous les nombres premiers étant distincts). Le cas particulier $ \ rm \, n = 1 \, \ Rightarrow \, \ log_2p_ \ not \ in \ mathbb Q. \ $ \ QEDRemarque \ $ $ Voir aussi l'exemple similaire dans mon post ici.