Stratégie sur la factorisation des polynômes du quatrième degré méthode croix
J'ai trouvé une méthode pour factoriser polynômes quartiques que je ne comprends pas comment cela fonctionne.
Il est présenté comme ceci:
Méthode Cross Cette méthodologie permet de factoriser ordonnée et terminé 4e polynômes de la forme:
- Facteur les termes extrêmes avec la méthode croisée pour obtenir un terme au carré (généralement différent du terme au carré du polynôme original).
- Obtenez $ \ Delta $ à la différence du terme au carré du polynôme et le terme de la première étape, et remplacer le résultat dans le polynôme d'origine.
- Ensuite, vérifiez les combinaisons binaires que l'affacturage double croix.
J'ai utilisé pour des exercices différents et il fonctionne, mais je ne comprends pas la base de cette méthode.
Quelqu'un peut-il expliquer les raisons?
- Affacturage les termes des extrêmes; $ x ^ 4 $ et -3 $ $:
$$ (x ^ 2 + 3) (x ^ 2-1) $$ Le résultat de la méthode transversale est 3x $ ^ 2x ^ 2 = 2x ^ 2 $
Et il remplacé dans le polynôme d'origine:
- En utilisant la méthode croix pour la deuxième et quatrième mandat:
Pour un second mandat: $ (x ^ 2 + x) (x ^ 2 + x) $ est 2x $ ^ 3 $
Pour un quatrième mandat: $ (x + 3) (x-1) $ est 2x $ $
Donc, arranger les termes, les deux facteurs sont les suivants:
Je pourrais être malentendu, mais cela semble tout comme l'expansion cachée $$ (x ^ 2 + ax + b) (x ^ 2 + cx + d) étiquette \ $$ et la comparaison des coefficients.
Eh bien, ce que nous voulons est de choisir $ b $ et $ d $ tel que $ (x ^ 2 + b) (x ^ 2 + d) $ correspond à la direction et constante. Cela revient à se trouver $ b $ et $ d $ tel que $ = -3 $ bd. Disons que nous avons eu la chance et nous avons choisi la paire gagnante $ b = -1, \ d = 3. $
Pourquoi est-ce important? Eh bien, $ (x ^ 2-1) (x ^ 2 + 3) = x ^ 4 + 2x ^ 2-3 $, donc il nous manque un $ x ^ 2 $: $ \ Delta = 3 x ^ 2 - 2 x ^ 2 $.
Nous écrivons simplement $ (x ^ 2 + x-1) (x ^ 2 + x + 3) = x ^ 4 + 2x ^ 3 + 3x ^ 2 + 2x-3 $ et sentir la magie tout autour de nous.
Maintenant, laissez-nous faire la même chose, que de manière transparente:
nous devons donc résoudre le système suivant en $ \ Bbb Z $:
Il y a deux possibilités, soit $ b = 1 $ et $ d = -3 $, ou $ b = -1 $ et $ d = 3 $. Nous pouvons voir que les anciens conduit à aucune solution, nous allons donc poursuivre ce dernier, le système devient:
\ Begin a + c- = 2 \\ \\ 1 = ac- 3a-c- = 2 \ end
La première et la troisième équation forme système linéaire, qui a solution unique $ a = c = 1 $, heureusement, conformément à la deuxième équation. Ainsi, nous savons maintenant que certains $$ (x ^ 2 + x-1) (x ^ 2 + x + 3) = x ^ 4 + 2x ^ 3 + 3x ^ 2 + 2x-3 $$.
Il y a une question légitime pourquoi nous considérons $ (1) $ dans le premier cas. Maintenant, nous essayons de tenir une quartique plus de $ \ Bbb Z $. Disons que $ p (x) = x ^ 4 + 2x ^ 3 + 3x ^ 2 + 2x-3 $ et supposons que p = $ fg $. Nous avons que $ \ deg p = \ ° f + \ deg g $, de sorte qu'il y a deux cas: $ 4 = 1 + 3 $ ou 4 $ = 2 + 2 $. Le premier cas impliquerait que $ p $ a racine entière et nous pouvons utiliser le théorème de racine rationnelle à l'exclure. Ainsi, seulement 4 $ de cas = 2 + 2 $ reste, ce qui conduit à considérer $ (1) $.
Enfin, si le système $ (2) $ avait pas de solution dans $ \ Bbb Z $, nous pouvons conclure que $ p $ est irréductible sur $ \ Bbb Z $.
Savez-vous comment facteur équations du second degré? Ceci est juste une méthode pour cela, adapté pour fonctionner pour les équations du quatrième degré. La raison pour laquelle cela fonctionne est que beaucoup (mais pas tous) des équations quartiques facteur dans le produit de deux équations du second degré.
Pour voir que cela ne fonctionne pas toujours, l'appliquer à $$ p (x) = x ^ 4-3x ^ 3 + x ^ 2-2x-3 = (x-3) (x ^ 3 + x + 1) $$ Le deuxième terme ne tient pas plus loin.
Voici une façon moins déroutant de donner les mêmes instructions:
- Supposons que le polynôme, $ f (x) $, facteurs en $ (x ^ 2 + ax + b) (x ^ 2 + cx + d) $
- $ $ Bd doit donner au terme constant du polynôme d'origine, afin de trouver deux valeurs qui se multiplient pour donner le terme constant et écrire $ g (x) = (x ^ 2 + b) (x ^ 2 + d) = x ^ 4 + (b + d) x ^ 2 + bd $. Dans l'exemple de calcul, $ g (x) = (x ^ 2 + 3) (x ^ 2-1) $
- Maintenant, regardons $ f (x) -g (x) $, soit 2x $ ^ 3 + x ^ 2 + 2x $ dans votre exemple. Ceci est un polynôme de degré 3 sans terme constant et représente les parties des facteurs que nous devons encore trouver. Dans notre factorisation, nous savons que le degré 1 $ terme de $ est donné par $ (ad + bc) x $, et nous avons déjà trouvé $ b $ et $ d $. De même, nous savons que le degré $ 3 Durée de $ est donné par $ (a + c) x ^ 3 $. Ceci est un système d'équations à deux variables et deux inconnues et peut donc être résolu. Dans votre exemple, ces équations sont $ -a + 3 c = 2 $ et $ a + c = 2 $ respectivement.
- Solving donne les deux derniers coefficients dont nous avons besoin, puis de les mettre en même temps que la pièce originale nous donne la factorisation. Dans votre exemple, la solution $ a = c = 1 œuvres de $. Cela nous donne $ (x ^ 2 + x + 3) (x ^ 2 + x-1) $