Comment utiliser la définition de dérivés
Le dérivé est défini en termes d'une limite. C.K.Taylor
Les deux principales opérations de calcul sont la différenciation et l'intégration. Il existe de nombreuses formules qui peuvent être utilisées dans le calcul du dérivé d'une fonction donnée. Ces formules, telles que la règle du produit, la règle du quotient et la règle de puissance sont d'une grande aide pour trouver un dérivé. Ce qui est obscurci par l'utilisation de ces formules est la définition du dérivé qui a été utilisé pour les obtenir.
La définition du dérivé est important au sujet du calcul.
Bien que certains dérivés peuvent être calculées directement, sans l'utilisation de formules, il est bon de savoir comment utiliser cette définition. Nous verrons comment utiliser la définition d'un dérivé, puis vérifier notre travail en utilisant une autre méthode pour le dérivé.
Définition des dérivés
La dérivée d'une fonction f au point x # 61; A est défini comme une limite. Il y a une raison conceptuelle pour laquelle c'est la définition. Le dérivé est en fait la limite des pentes des droites sécantes successives qui se coupent au point (a. F (a)). La pente de la tangente à ce point est la limite des pentes de ces droites sécantes. Ces pistes sont formées en divisant le changement dans les valeurs de y par la variation des valeurs de x.
La définition de la dérivée de f à x # 61; un est la suivante:
Nous savons par l'utilisation de la règle de puissance que si nous avons la fonction f (x) # 61; x 2. puis f »(a) # 61; 2 x.
Nous allons montrer maintenant que cela est vrai d'une manière différente, en utilisant la définition du dérivé directement.
Nous notons que si nous essayons de prendre la limite en branchant simplement x # 61; un ce que le quotient de la différence [f (x) - f (a)] / (x - a) nous avons une division par zéro. Donc, nous ne pouvons pas adopter cette approche.
Au lieu de cela, nous allons essayer de manipuler algébriquement le quotient de différence afin que nous puissions déterminer la limite que x approche a. On voit ça
Le numérateur du quotient de différence est la différence de deux carrés. Nous rappelons que nous pouvons tenir cette différence:
Lorsque nous utilisons cette algèbre, nous voyons que le quotient de différence devient:
Maintenant que nous avons annulé le dénominateur du quotient de différence, il est possible de prendre la limite:
Cela correspond exactement à ce que nous obtenons en utilisant la règle de puissance pour calculer ce dérivé.
Pourquoi se préoccuper de la définition?
Plusieurs fois, nous travaillons avec une fonction générale pour une fonction de probabilité cumulative. Nous prenons la dérivée de cette fonction pour obtenir la fonction de densité de probabilité.
Si nous ne parvenons pas à utiliser une règle dérivée, comme la règle du quotient ou de la règle du produit, parce que nous n'avons pas une expression exacte pour notre fonction, la définition d'un dérivé fonctionnera pour toute fonction.