Qu'est-ce qu'un dérivé dans le calcul, StudyPug
Définition des dérivés dérivés et communs
Qu'est-ce qu'un dérivé?
Le dérivé est essentiellement la pente. Ainsi, la dérivée d'une fonction est la pente de la fonction pour un point donné. On note également que le dérivé d y d x \ frac d x d y. Bien sûr, certaines fonctions ne peuvent pas être différenciées pour un point précis. Prenons l'exemple du dérivé de 1 x \ frac x 1. Lorsque x = 0 x = 0 x = 0. on sait que la fonction est définie. Par conséquent, nous savons aussi que le dérivé est également défini.
Comment trouver la dérivée?
Il y a deux façons de trouver le dérivé:
1. Utiliser la définition de dérivé
2. Utilisez le tableau dérivé et les règles dérivés
Nous allons expliquer les deux sens.
Définition des dérivés
Rappelons que nous pouvons trouver la dérivée en utilisant la définition ci-dessous du dérivé:
Regardons quelques exemples d'utilisation de la définition du dérivé.
Tout d'abord, trouver la dérivée d'une constante. Soit f (x) = c f (x) = c f (x) = c. où c c c est une constante. En utilisant la définition du dérivé nous donnera:
Par conséquent, le dérivé d'une constante sera toujours 0 0 0.
Qu'en est-il du dérivé de la racine carrée? Soit f (x) = x f (x) = \ sqrt f (x) = √ x. Ensuite, en utilisant la définition du dérivé nous donnera:
Celui-ci est un peu délicat car nous avons besoin de manipuler l'équation un peu. Ce qu'on va faire est ce qu'on appelle un conjugué. Nous allons multiplier le numérateur et le dénominateur par (x + h) + x \ sqrt + \ sqrt √ (x + h) + √ x. En d'autres termes,
Nous donnera Simplifier:
Notez que les h h l « h dans le numérateur et le dénominateur peuvent être annulés, nous laissant
Maintenant, nous pouvons enfin prendre la limite et branchez h = 0 h = 0 h = 0 qui nous donne:
Par conséquent, l'équation ci-dessus est la dérivée de la racine carrée de x x x.
Maintenant, nous allons essayer quelque chose de similaire et prendre la dérivée d'une value.Let absolue f '(x) = | x | f # x27; (x) = | x | f '(x) = | x |. Ce que nous devons remarquer ici est que | x | | x | | X | peut aussi être écrit comme x 2 \ sqrt> √ x 2. Par conséquent, en utilisant la définition du dérivé nous donne
Encore une fois, nous allons faire le conjugué. Alors
Simplifier le numérateur va nous donner:
Annulation de la h h h « s DONNE
Maintenant, en prenant la limite (set h = 0 h = 0 h = 0), et la simplification de nous donner:
En multipliant le numérateur et le dénominateur par x 2 \ sqrt> √ x 2 nous donnera:
Puisque nous savons depuis le début que | x | = x 2 | x | = \ Sqrt> | x | = √ x 2. alors nous disons enfin que
Maintenant, pourquoi ne pas essayer quelque chose de plus difficile et de prendre la dérivée d'une fonction exponentielle? Soit f (x) = e x f (x) = e ^ f (x) = e x. Ensuite, en utilisant la définition du dérivé nous donne:
Notez que e (x + h) = e x e h e ^ = e ^ e ^ e (x + h) = e x e h. Par conséquent, nous pouvons réécrire notre équationMaintenant, nous pouvons tenir compte des e x e ^ e x et retirez-la de la limite, nous donnant:
Maintenant, la partie la plus difficile est de prendre cette limite ici. Afin de continuer à partir de là, nous devons examiner la définition de e. Remarquerez que
En prenant les deux côtés à la puissance h h h nous donner:
Nous allons remplacer cette e h e ^ e h dans l'équation initiale que nous avions plus tôt, ce qui nous donne:Faire un peu de l'algèbre nous donner cette
et nous pouvons conclure que
Si vous voulez essayer des problèmes plus difficiles, prenez la dérivée du logarithme naturel. En d'autres termes, trouver la dérivée de ln x \ En x ln x. Si vous voulez la solution, puis regardez le lien ci-dessous.
Graphique dérivé
Voici un tableau des dérivés communs ci-dessous
Ceux-ci peuvent être utilisés lors de l'application des règles dérivées.
Règles dérivés
Maintenant règles dérivées sont très utiles lorsque nous essayons de prendre la dérivée des fonctions hors du commun. Par exemple, nous savons que le dérivé de l'e x e ^ e x est e x e ^ e x. mais quid du dérivé de e - x e ^ e - x. Qu'en est-il la dérivée de e 2 x e ^ e 2 x. C'est là que nous introduisons la règle de la chaîne. La règle de la chaîne dit ce qui suit:
Nous allons l'utiliser pour prendre la dérivée de e - x e ^ e - x. Soit g (x) = - x g (x) = -x g (x) = - x. et f (x) = e x f (x) = e ^ f (x) = e x. Ensuite, on peut dire f '(x) = e x f # x27; (x) = e ^ f' (x) = e x. et si f '[g (x)] = e - f x # x27; [g (x)] = e ^ f' [g (x)] = e - x. L'application de la règle de la chaîne va nous donner:
Par conséquent, le dérivé de e - x e ^ e - x est - e - e x e ^ - x.
Prenons maintenant la dérivée de e 2 x e ^ e 2 x. Si g (x) = x 2 g (x) = 2x g (x) = 2 x. et f (x) = e x f (x) = e ^ f (x) = e x. Ensuite, on peut dire f '(x) = e ^, et donc f [g (x)] = e 2 xf # x27; [g (x)] = e ^ f [g (x)] = e 2 x en utilisant la règle de la chaîne nous donne:
Maintenant, il y a une autre règle dérivée qui nous permet de prendre la dérivée d'une fraction. Nous appelons cela la règle du quotient. La règle du quotient dit ce qui suit:
Par exemple, supposons h (x) = x 2 x 3 h (x) = \ frac >> h (x) = x 3 x 2. Nous avons mis en f (x) = 2 xf (x) = 2 ^ f (x) = x 2 et g (x) = x 3 g (x) = x ^ g (x) = x 3 . Savoir de notre diagramme dérivé que f '(x) = 2 x ln 2 f # x27; (x) = 2 ^ \ ln 2 f' (x) = 2 x ln 2 et g '(x ) = 3 x 2 g # x27; (x) = 3x ^ g '(x) = x 2 3. Par conséquent, en utilisant la règle du quotient nous donnera les éléments suivants:
Il existe également d'autres règles dérivées telles que la règle du produit et la règle de puissance. Donc, si vous voulez en savoir plus sur ceux aussi bien, nous vous recommandons de cliquer sur ces liens.
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