Quel est le sens du dérivé Une approche de calcul
La dérivée de f (x) = 2x - 5
C ALCULUS CONCERNE des choses qui ne changent pas à un taux constant. Les valeurs de la fonction appelée la dérivée
sera que le taux variable de changement.
Maintenant, puisque nous considérons x comme la variable indépendante et y la personne à charge, toute Sx de variation de la valeur de x. se traduira par une AY variation de la valeur de y. En ligne droite, la vitesse de variation - autant d'unités de y pour chaque unité de x - est constante, et est appelée la pente de la droite.
La pente d'une ligne droite est le numéro suivant:
Changement de y -coördinate
Changement de x -coördinate
Une ligne droite a une et une seule pente.
Si x représente le temps, par exemple, et y représente la distance, alors
Graphique en ligne droite qui les relie indique une vitesse constante. 45 miles par heure, disent - à chaque instant du temps.
La pente d'une ligne tangente à une courbe
Calcul est toutefois préoccupé par les taux de changement qui ne sont pas constantes.
Une tangente est une ligne droite qui touche juste une courbe. Un sécante est une ligne droite qui coupe une courbe. Par conséquent, considérer la sécante qui coupe la courbe aux points P et Q. Puis la pente de cette sécante est
Mais encore une fois, le calcul de la question demande est: Comment est la fonction de changement exactement à x1.
Quelle est la pente de la tangente à la courbe au P?
Nous ne pouvons pas évaluer cependant exactement à P - parce que Dy et Sx seraient alors tous deux 0, et la valeur serait tout à fait ambiguë.
Par conséquent, nous envisagerons des distances plus courtes et plus courtes Sx. qui se traduira par une suite de sécantes -
-- une séquence de pistes. Et nous allons définir la tangente à P comme la limite de cette séquence de pistes.
Cette pente, cette limite, sera la valeur de ce que nous appellerons le dérivé.
Soit y = f (x) est une fonction continue. et laisser la coördinates d'un point fixe P sur le graphique soit (x. f (x)). (Thème 4 Precalculus.) Soit x changer maintenant d'un montant Sx. Ensuite, les nouveaux x -coördinate est x + ôx.
Il est le x -coördinate de Q sur le graphique.
Mais lorsque la valeur des changements de x, il y a un changement résultant Dy
la valeur de y. qui est, de la valeur de f (x). Sa nouvelle valeur est f (x + Ax). la coördinates de Q sont (x + ôx. f (x + Ax)).
Ici. puis, est la définition de la pente de la tangente en P:
La pente de la tangente en P
est la limite de la variation de la fonction (numérateur)
divisé par la variation de la variable indépendante
comme ce changement 0 approches.
Depuis Sx - pas x - est la variable qui approche 0, x reste constante, et cette limite sera fonction de x. Comme il sera dérivé de f (x), nous l'appelons la fonction dérivée ou la dérivée de f (x). Pour nous rappeler qu'il a été dérivé de f (x), on note par f '(x) - "f-prime de x."
-- est appelé le quotient Newton. ou le quotient de la différence. Le calcul et la simplification est une tâche fondamentale dans le calcul différentiel.
Encore une fois, le quotient de différence est une fonction de ôx. Mais pour simplifier les calculs écrits, alors au lieu d'écrire Sx. nous écrirons h.
DEFINITION 5. Par la dérivée d'une fonction f (x), on entend la limite suivante, si elle existe:
Nous appelons cette limite la fonction f '(x) - « f -Premier de x » - et quand cette limite existe, on dit que f est lui-même différentiables à x. et en ce que f a une dérivée.
Et si nous prenons la limite du quotient de différence en tant h approche 0. Lorsque cette limite existe, cela signifie que le quotient de différence peut être aussi proche de cette limite - « f '(x) » - comme il nous plaît. (Leçon 2 .)
En ce qui concerne x. nous devons considérer comme fixe. Il est la valeur spécifique à laquelle nous sommes à évaluer f '(x).
En pratique, nous devons simplifier le quotient de différence avant de laisser l'approche h 0. Nous devons exprimer le numérateur -
-- de telle sorte que l'on peut le diviser par h.
En résumé, le dérivé est une fonction - une règle - qui attribue à chaque valeur de x la pente de la tangente au point (x f (x).) Sur le graphe de f (x). Il est le taux de variation de f (x) en ce point.
À titre d'exemple, nous allons appliquer la définition de prouver que la pente de la tangente à la fonction f (x) = x 2. au point (x. X 2), est 2x.
Ce que nous voulions prouver.
Problème. Soit f (x) = x 2 et de calculer la pente de la tangente à la courbe -
Etant donné que f '(x) = 2x. alors x = 5 la pente de la ligne tangente est de 10.
b) à x = -3. -6.
Selon la définition, une fonction sera différentiables à x si une certaine limite, il existe. Graphiquement, cela signifie que le graphique à cette valeur de x aura une ligne tangente. A quelles valeurs, alors, serait une fonction pas différentiables?
Là où il ne dispose pas d'une ligne tangente
Ci-dessus sont deux exemples. La fonction à gauche n'a pas une dérivée en x = 0, parce que la fonction y est discontinue. X = 0, il n'y a évidemment pas de tangente.
En ce qui concerne le graphique à droite, il est la fonction de valeur absolue, y = | x |. (Discussion 5 de Precalculus.) Et il est impossible de définir la ligne tangente au point x = 0, car le graphique y fait un angle aigu. En effet, la pente de la ligne tangente lorsque x tend vers 0 depuis le côté gauche, est -1. La pente approchant de la Cependant, à droite, est +1. La pente de la droite tangente à 0 - ce qui serait la dérivée en x = 0 - n'existe donc. (Définition 2.2).
La fonction de valeur absolue est néanmoins continue à x = 0. En effet, la limite gauche de la fonction elle-même que x 0 est approche égale à la limite de droite, à savoir 0. Cela montre que la continuité en un point est sans garantie de différentiabilité - l'existence d'une tangente - à ce moment-là.
(À l'inverse, bien que, si une fonction est dérivable à un point - s'il y a une tangente - Le graphique, il sera lisse et sans interruption ont également là continue..)
Etant donné que le calcul différentiel est l'étude des produits dérivés, il est fondamentalement sur les fonctions qui sont différentiables à toutes les valeurs de leurs domaines. De telles fonctions sont appelées fonctions différentiables.
Pouvez-vous nommer une classe élémentaire de fonctions différentiables?
Pour voir la réponse, passez votre souris sur la zone colorée.
Pour couvrir la réponse à nouveau, cliquez sur « Actualiser » ( « Recharger »).
Pensez à vous-même d'abord!
Notations pour le dérivé
Étant donné que le dérivé est cette limite. alors le symbole de la limite est lui-même (Lire: ". dee-dee y-x")