dés curieux
Voici comment le jeu fonctionne: chaque joueur choisit un dé et les deux joueurs puis rouler leurs dés respectifs en même temps. Celui qui obtient la plus haute valeur gagne. Il semble assez juste - mais est-ce?
On peut montrer (voir ci-dessous) à long terme meurent Battements meurent B (il va gagner contre B plus souvent qu'il va perdre contre B), et qui bat meurent B mourir C. Il semble donc A est la matrice solide et C est la matrice faible. Donc, vous pourriez attendre à ce que, à long terme, meurent Battements meurent C:
Si tel était le cas, alors nous appellerions la transitif dés. comme les transferts de propriété gagner par mourir B au milieu.
Mais ce n'est pas le cas! En fait, la propriété gagnante va dans un cercle - comme dans un jeu de roche, papier, ciseaux - avec mourir un dé bat B, mourir meurent battant B C, et mourir battre C mourir A (à long terme). Il n'y a pas mourir forte ou faible; les dés sont ce qu'on appelle non transitive. Mais comment cela peut-il être?
chances de gagner
Voyons voir pourquoi mourir A bat B meurent à long terme.
Lorsque vous roulez A mourir il y a deux résultats possibles; soit vous obtenez un 3 ou 6. La probabilité d'obtenir un 3 est 5/6, alors que la probabilité d'obtenir un 6 est 6/1. D'autre part, die B peut être soit un rouleau 2 ou 5, chacune avec une probabilité de 1/2. Donc, au total, si l'on jet de dé A et B mourir ensemble, nous avons quatre résultats possibles, comme illustré dans le diagramme d'arbre suivant.
Nous trouvons la probabilité de chaque résultat possible en multipliant les probabilités le long du diagramme. Par exemple, la probabilité d'obtenir une 5 matrice avec A et une matrice 2 avec B est 6/5 x 1/2 = 5/12.
Pour trouver la probabilité que mourir A gagne, additionner les probabilités de tous les résultats où meurent Battements mourir B. Donc dans ce cas, la probabilité mourir Battements mourir B (pour lequel nous écrivons P (A> B)) est 5 / 12 + 1 / + 12 1/12 = 7/12 - surtout, ce qui est plus que 1/2. Ainsi, lors d'un concours de plusieurs jeux mourir Un devrait gagner plus souvent que de mourir B.
Double Whammy
Après quelques défaites votre adversaire pourrait devenir suspect, alors il est temps de dire la vérité et expliquer que vous avez affaire avec des dés non transitif. Vous pouvez donner à votre adversaire une autre chance, offrant de choisir votre premier mourir, donc ils devraient être en mesure de choisir une filière avec une meilleure chance de gagner. Vous pouvez même offrir un changement dans le jeu: chacun de vous roule maintenant deux de leur type de filière choisie. Certes, cela signifie que votre adversaire vient de doubler leurs chances de gagner?
Pas si! Chose étonnante, avec deux dés l'ordre des sauts périlleux de la chaîne.
La chaîne inverse donc le cercle de la victoire devient un cercle de la défaite. Maintenant, meurent Battements meurent C, meurent battements C meurent B, et meurent bat B meurent A, vous permettant de gagner le jeu à nouveau!
La probabilité de gagner en moyenne avec deux dés est d'environ 57%. Les probabilités complètes sont les suivantes:
P (A> C) = 671/1296,
P (C> B) = 85/144,
P (B> A) = 85/144.
Un mot d'avertissement si: bien que la probabilité que mourir battements die C est supérieur à 1/2, il est une victoire mince. À court terme, disons moins de 20 rouleaux, l'effet est plus proche de 50-50, de sorte que vous aurez toujours besoin un peu de chance de votre côté.
dés Efron
Cette fois, les dés utiliser les valeurs 0 à 6. Chaque matrice a des valeurs:
Comme précédemment, les dés forment un cercle de mourir d'une matrice battement B, die die battant B C, die die C battement D, D et meurent battement matrice A, et ils font chacun avec une probabilité de 2/3.
Nous avons aussi deux paires de dés opposés les uns des autres sur le cercle. En fait, mourir bat B meurent D, mais mourir A et mourir C ont chacun une chance de gagner 50-50, avec ni mourir dominant.
jeux à trois joueurs
C'est la probabilité de battre chaque adversaire individuel, mais qu'en la chance de battre les deux en même temps. Si les dés étaient dés réguliers juste, avec deux dés concurrents ayant une chance 50-50 de la victoire (en ignorant tire), puis la chance de battre deux adversaires en même temps se tiendrait à un peu plus de 25%. Il est pas exactement 25% parce que l'événement de battre un joueur n'est pas indépendant de l'événement de battre l'autre. En effet, si vous roulez un grand nombre, vous êtes susceptible de battre les deux. Dans le cas des dés de van Deventer, la chance de battre les deux adversaires en même temps est d'environ 39%. Ainsi, même si vous avez l'avantage contre les deux adversaires, en battant les deux joueurs est toujours un défi.
Est-il possible de construire un jeu de dés non transitif avec une plus grande chance de battre deux joueurs en même temps et peut-être même impliquant moins de dés? Oui, ça l'est. Je l'ai mis au point un tel ensemble ci-dessous.
dés Grime
Voici un ensemble de cinq dés non transitif:
Ces dés utilisent des valeurs de 0 à 9, comme suit:
Comme avec d'autres jeux de dés que nous avons vu, nous avons une chaîne: A> B> C> D> E> A.
Cependant, dans ce que nous avons aussi une deuxième chaîne: A> C> E> B> D> A.
La probabilité de gain moyen pour une matrice est de 64,7%. Les probabilités exactes sont
P (A> B) = 13/18,
P (B> C) = 2/3,
P (C> D) = 2/3,
P (D> E) = 13/18,
P (E> A) = 25/36,
P (A> C) = 7/12,
P (B> D) = 5/9,
P (C> E) = 12/07,
P (D> A) = 13/18,
P (E> B) = 5/9.
Cela signifie que donné deux dés, vous ne pouvez pas toujours trouver un troisième dé qui bat à la fois. Par exemple, cela est le cas lorsque les deux dés sont donnés C et E.
Si notre jeu original de trois dés non transitifs était comme un jeu de roche, papier, ciseaux. ce schéma est plus proche de l'apparenté, mais plus extrême, jeu non-transitif Rock, papier, ciseaux, lézard, Spock
Avec deux dés la première chaîne reste la même. Mais la seconde chaîne retourne maintenant A> D> B> E> C> A.
La probabilité de gagner en moyenne pour deux dés est de 59,2%. Les probabilités exactes sont
P (A> B) = 12/07,
P (B> C) = 5/9,
P (C> D) = 5/9,
P (D> E) = 12/07,
P (E> A) = 625/1296 (une défaite mince, mais à court terme, l'effet est de 50 à 50),
P (A> D) = 56/81,
P (B> E) = 56/81,
P (C> A) = 85/144,
P (D> B) = 16/27,
P (E> C) = 85/144.
Par exemple, si un adversaire choisit de mourir B et l'autre adversaire choisit de mourir C, alors vous devriez choisir de mourir A et jouer une version die du jeu. Puis, selon le premier schéma ci-dessus, vous aurez une meilleure chance de gagner que soit l'adversaire individuel.
D'autre part, si l'on choisit l'adversaire mourir C et l'autre adversaire choisit de mourir E, alors vous devriez choisir mourir B et jouer les deux dés la version du jeu. Ensuite, selon le deuxième schéma à droite, vous pouvez vous attendre à battre chaque adversaire à nouveau.
Un jeu de jeu
Mais, pouvons-nous espérer battre les deux autres joueurs en même temps? Eh bien, nous avons certainement amélioré les chances, avec la probabilité moyenne de battre les deux adversaires debout maintenant à environ 44%. C'est une amélioration de 5% par rapport van dés de Deventer, et une amélioration de 19% par rapport à la juste dés.
Mais si les chances de battre deux joueurs ne sont pas plus de 50% comment pouvons-nous gagner? Considérez le jeu de jeu suivant:
Si les dés étaient justes, alors chaque joueur attendre à gagner zéro, puisque chaque joueur s'attendre à gagner la moitié du temps et de perdre la moitié du temps.
Avec les dés de van Deventer, vous devriez vous attendre à battre les deux joueurs 39% du temps, et de perdre à la fois les joueurs 28% du temps, ce qui vous donnera un bénéfice net de 22 £.
Mais avec des dés de Grime, vous devriez vous attendre à battre les deux joueurs 43,8% du temps, mais seulement perdre à la fois les joueurs 22,7% du temps, vous donnant un bénéfice net moyen proche de 42 £! (Et peut-être la perte de deux amis).
Cet ensemble est le meilleur ensemble de cinq dés non transitif avec ces propriétés que j'ai trouvé.
Je vous invite à essayer ces jeux vous-même. Ils sont faciles à faire soit par écrit sur les dés blancs, ou de modifier certains vieux dés. Essayez-les sur vos amis et profitez de vos succès et les échecs!
Voici un autre défi
Pour le très vif, voici un ensemble pour essayer qui utilise des constantes mathématiques: