Quel est le jeu le plus injuste de trois dés non transitifs mathématiques Stack échange
Dans un jeu de dés non transitive. chaque filière est supérieure à un autre dé, mais est inférieure à un tiers. Il est similaire au jeu de roche-papier-ciseaux. Voici un exemple:
Die A a un 5 / 9ths chance de rouler un nombre supérieur à B, qui lui-même a une chance 5 / 9ths de rouler un nombre supérieur à C, qui lui-même a une chance 5 / 9ths de rouler un nombre supérieur à A. Il est un cercle sans gagnant.
Supposons qu'il y ait un simple jeu de dés où une personne prend une filière de l'ensemble des trois dés non transitifs. Une deuxième personne prend alors une autre filière de l'ensemble. Les joueurs roulent alors leurs dés, et la personne qui obtient le plus grand nombre gagne. S'il y a égalité, les joueurs roulent simplement à nouveau jusqu'à ce qu'il y ait un gagnant.
Si ce jeu se joue avec le jeu de dés ci-dessus, le deuxième joueur sera toujours en mesure de choisir une filière supérieure et va gagner le jeu 5 / 9ths du temps.
Quel est l'un possible jeu de dés non transitive qui maximise l'iniquité de ce jeu? Une exigence supplémentaire est que les chances de gagner le joueur ne doit pas deuxième être affectés par le choix de mourir du premier joueur.
Il se avère que vous pouvez faire très légèrement mieux que les dés dans votre exemple. La probabilité doit être un multiple de 1/36 $ $, votre exemple a 20/36 $ $, et la meilleure valeur possible est de 21/36 $ = 7/12 $.
De ma réponse à la question qui Anon liée à, nous savons que la probabilité d'un 6 $ en battant un autre meurt à flancs tout en ayant une médiane inférieure peut être au plus 3 $ / 4-1 / 12 = 2/3 = 24/36 $ . Wikipedia donne un exemple d'un cycle de quatre dés dans lequel chaque dé bat la suivante avec cette probabilité.
Vous êtes à la recherche d'un cycle de trois dés dans lequel chaque dé bat le suivant avec la même probabilité. Sans perte de généralité, on peut supposer que les dés portent 18 $ $ numéros différents. Ensuite, il y a 18 $! / 6! ^ 3 = 17153136 $ différents jeux de dés, il est donc à la portée de nos amis électroniques pour tous les essayer. Voici le code qui fait ça (plutôt inefficacement). Le résultat est que la probabilité maximale pour un tel cycle est de 21 / $ 36 = 7/12 $ et il y a huit ensembles différents de dés qui atteignent cette probabilité. ils sont là, avec des bouts de chiffres consécutifs regroupées en une seule comme dans votre exemple:
Il y a deux ensembles de 7 $ $ numéros différents, quatre séries avec 8 $ et deux avec 10 $, et votre exemple quasi-optimal a $ 9 $, alors que le nombre moyen de différents nombres après l'effondrement, en moyenne sur tous les jeux avec 18 $ $ numéros différents , est 18-17 $ \ cdot (5/17) = 13 $, si étendues consécutives de nombres et donc élevé collapsibilité sont une caractéristique frappante de ces ensembles.
Post-scriptum Je viens de réaliser qu'il ya une symétrie que vous pouvez inverser les ordres des deux dés et les chiffres et obtenir un autre jeu avec la même probabilité. Les deux premiers ensembles sont reliés par cette symétrie, de même que le troisième et le septième, le quatrième et le sixième et le cinquième et huitième. Ainsi, il n'y a que quatre jeux vraiment différents de dés, avec 7 $ $, 8 $, 10 $ et 8 $ numéros différents, respectivement.