Fourier Exemples série
Ce document tire les coefficients série de Fourier pour plusieurs fonctions. Les fonctions présentées ici sont assez simples, mais les concepts étendent à des fonctions plus complexes.
Même Fonction d'impulsion (Cosinus série)
Considérons la fonction d'impulsion périodique illustré ci-dessous. Il est une fonction paire de période T. La fonction est une fonction d'impulsion avec une amplitude A. et largeur d'impulsion Tp. La fonction peut être définie sur une période (centré autour de l'origine) sous la forme:
En plus: la fonction d'impulsion périodique
La fonction d'impulsion périodique peut être représenté sous une forme fonctionnelle comme πT (t / Tp). Au cours d'une période (centrée autour de l'origine)
πT (t) représente une fonction périodique de période T et la largeur d'impulsion ½. L'impulsion est mis à l'échelle dans le temps par Tp dans la fonction πT (t / Tp) si:
Cela peut être un peu difficile à comprendre au début, mais considérer la fonction sinus. La fonction sin (x / 2) deux fois plus lent que sin (x) (à savoir chaque oscillation est deux fois plus large). De la même manière πT (t / 2) est deux fois plus large (à savoir lent) sous la forme πT (t).
La représentation de la série de Fourier est
Étant donné que la fonction est encore il n'y a que un terme.
La moyenne est facile à trouver,
Les autres termes suivent de
Tout intervalle d'une période est autorisée, mais l'intervalle de -T / 2 à T / 2 est simple dans ce cas.
Depuis xT (t) = A entre Tp / 2 à + Tp / 2 et zéro ailleurs les intégrales simplifie et peut être résolu
Puisque sinusoïdale est une fonction impaire, sin (a) sin (-a) = 2sin (a). et en utilisant le fait que ω0 = 2π / T et
Ce résultat est exploré plus en deux exemples.
Exemple 1: Cas particulier, Durée de vie = 50%
Considérons le cas où le cycle de service est de 50% (cela signifie que la fonction est élevée à 50% du temps, ou Tp = T / 2), A = 1. et T = 2. Dans ce cas a0 = moyenne = 0,5 et n ≠ 0:
Moyenne + 1 er harmonique jusqu'à 3 ème harmonique. 5ème harmonique. 7 th. 21
Le graphique montre la fonction xT (t) (bleu) et la transformée de Fourier partielle Sum (à partir de n = 0 à n = N) (rouge)
ainsi que l'harmonique de fréquence plus élevée, a_Ncos $ (N \ de omega_0t) $ (magenta pointillés). La baisse des harmoniques de fréquence dans la sommation sont minces lignes bleues en pointillés (mais les harmoniques avec a_n0 $ $ ne sont pas présentées, vous pouvez changer n en cliquant sur les boutons Comme précédemment note...:
- Comme vous ajoutez des ondes sinusoïdales de fréquence plus élevée, l'approximation améliore.
- L'addition de fréquences plus élevées se rapproche mieux les changements rapides, ou des détails, (à savoir la discontinuité) de la fonction d'origine (dans ce cas, l'onde carrée).
- Le dépassement de gibb existe de chaque côté de la discontinuité.
- En raison de la symétrie de la forme d'onde, seules les harmoniques impaires (1, 3, 5) sont nécessaires pour approcher la fonction. Les raisons sont discutées ci-dessous
- Le bouton affiche la somme la plus à droite de tous les harmoniques jusqu'au 21e harmonique, mais pas tous les sinusoïdes individuels sont explicitement indiqués sur la parcelle. En particulier harmoniques entre 7 et 21 ne sont pas représentés.
Exemple 2: Cas particulier, cycle de service = 40%
Considérons maintenant le cas lorsque le cycle de travail est de 40%, A = 1. et T = 2. Dans ce cas a0 = moyenne = 0,4 et n ≠ 0:
Les valeurs pour un sont donnés dans le tableau ci-dessous (note: cet exemple a été utilisé sur la page précédente).
Moyenne + 1 er harmonique jusqu'à 2 e harmonique. 3 ème harmonique. 4 th. 21
Le graphique montre la fonction xT (t) (bleu) et la transformée de Fourier partielle Sum (à partir de n = 0 à n = N) (rouge)
Notez que parce que cet exemple est similaire à la précédente, les coefficients sont similaires, mais ils ne sont plus égaux à zéro pour n même.
Même onde carrée (symétrie Exploiting)
Dans les problèmes avec des fonctions paires et impaires, nous pouvons exploiter la symétrie inhérente pour simplifier l'intégrale. Nous allons exploiter d'autres symétries plus tard. Considérons le problème ci-dessus. Nous avons une expression pour un. n ≠ 0
Si xT (t) est encore, alors même est le produit xt (t) cos (n · ω0 t) (le produit de deux fonctions est même même). On peut alors utiliser le fait que, pour une même fonction, e (t),
qui génère la même réponse que précédemment. Ce sera souvent plus simple à évaluer que l'intégrale d'origine, car l'une des limites de l'intégration est égal à zéro.
Même onde carrée (Exponentielle série)
Tenez compte, encore une fois, la fonction d'impulsion. On peut également représenter xT (t) par la série de Fourier Exponentielle
Comme précédemment l'intégrale est de -T / 2 à + T / 2 et utiliser des faits que la fonction est constante pour | t | l'identité d'Euler dictent que e + -e jθ -jθ = 2jsin (θ) si e -jθ -e + jθ = -2jsin (θ). Considérons l'onde triangulaireMême Triangle d'onde (Cosinus série)
La valeur moyenne (à savoir la série de Fourier 0 e Coefficients) est a0 = 0. Pour n> 0 autres coefficients de la même symétrie de la fonction est exploitée pour donner
Entre t = 0 et t = T / 2, la fonction est définie par xT (t) = A-4À / T si
Effectuer les intégrations (soit à la main en utilisant l'intégration par parties ou avec une table d'intégrales, ou par ordinateur) et en utilisant le fait que ω0 · T = 2 · π
Puisque le péché (π · n) = 0 ce qui simplifie à
Cette réponse est correcte, mais en notant que
donne un résultat encore plus simple
Exemple 3: onde Triangle
Si xT (t) est une onde triangulaire avec A = 1. les valeurs pour un sont données dans le tableau ci-dessous (note: cet exemple a été utilisé sur la page précédente).
Moyenne + 1 er harmonique jusqu'à 3 ème harmonique. 5 e harmonique. 7 th. 9 e
Fonction Odd (Sawtooth Wave)
Jusqu'à présent, les fonctions considérées ont tous été même. Le schéma ci-dessous montre une fonction impaire.
Dans ce cas, une série de Fourier Sine est appropriée
Il est plus facile d'intégrer de -T / 2 à + T / 2. Au cours de cet intervalle $ X_T (t) = 2Au / T $.
L'intégration de la scène (et en utilisant le fait que ω0 · T = 2 · n) les rendements intégraux
En utilisant deux simplification, sin (π · n) = 0 et cos (π · n) = (- 1) n donne
En plus: en utilisant la symétrie
Dans ce cas, étant donné que xT (t) est impair et est multiplié par une autre fonction impaire (sin (n · ω0 t)), leur produit est pair et l'intégrale peut être réécrite comme:
Exemple 4: Odd Sawtooth d'onde
Si xT (t) est une onde en dents de scie avec A = 1. les valeurs de bn sont données dans le tableau ci-dessous
Moyenne + 1 er harmonique jusqu'à 2 e harmonique. 3 e. 4 th. 5 e. 20 e
Les fonctions qui ne sont ni même ni impair
Comme il n'a pas symétries évidentes, un simple sinus ou Cosinus série ne suffit pas. Pour la transformée de Fourier trigonométriques série, cela nécessite trois Intégrales
Cependant, une série exponentielle ne nécessite qu'une seule intégrale
Pour cette raison, entre autres, la transformée de Fourier est souvent Exponentielle série plus facile à travailler, mais il n'a pas la visualisation directe offerte par la série de Fourier trigonométriques.
Exemple 5: Ni même ni Odd
Dans ce cas, mais pas en général, on peut facilement trouver les coefficients de Fourier de la série en réalisant que cette fonction est la somme de l'onde carrée (avec 50% de charge) et la dent de scie si
Moyenne + 1 er harmonique jusqu'à 2 e harmonique. 3 e. 4 th. 5 e. 20 e
- Comme vous ajoutez des ondes sinusoïdales de fréquence plus élevée, l'approximation de mieux en mieux, et ces fréquences plus élevées se rapproche de mieux les détails, (à savoir le changement de pente) dans la fonction d'origine.
- Il y a la remise des gaz de Gibbs causé par les discontinuités.
Effet de la fonction de symétrie sur Coefficients
Si la fonction xT (t) a certaines symétries, nous pouvons simplifier le calcul des coefficients.
Symétrie trigonométriques série et symétrie
xT (t) a une symétrie de demi-onde.
Une fonction peut avoir une symétrie demi-onde
sans être pair ou impair.
Les deux premiers sont des symétries ont été discutés précédemment dans la discussion de la fonction d'impulsion (xT (t) est pair) et l'onde en dents de scie (xT (t) est impair).
symétrie demi-onde est représenté le schéma ci-dessous.
La fonction supérieure, XT1 (t). est impair (XT1 (t) = - XT1 (-t)), mais n'a pas de symétrie de demi-onde. La fonction de fond, XT2 (t) est bas, même ni impair, mais depuis XT2 (t) = - XT2 (t-T / 2). il a une symétrie demi-onde. Pour visualiser cette imaginer décaler la fonction d'une demi-période (T / 2); pour la symétrie demi-onde de la fonction décalée doit être l'image miroir de la fonction d'origine (sur l'axe horizontal) comme illustré ci-dessous
La raison pour laquelle les coefficients des harmoniques paires sont égales à zéro peut être compris dans le contexte du diagramme ci-dessous. Le graphique supérieur montre une fonction, xT (t) à symétrie de demi-onde en même temps que les quatre premiers harmoniques de la série de Fourier (seulement sines sont nécessaires parce que xT (t) est impair). Le graphique du bas montre les harmoniques multiplié par xT (t).
Maintenant, imaginez l'intégration des termes de produits de -T / 2 à + T / 2. Les termes impairs (du 1er (rouge) et 3 (harmoniques magenta)) auront un résultat positif (parce qu'ils sont au-dessus de zéro plus qu'ils ne le sont en dessous de zéro). Les termes même (vert et cyan) intégreront à zéro (car ils sont également au-dessus et en dessous de zéro). Bien que ce soit un exemple simple, le concept applique pour des fonctions plus complexes, et pour les harmoniques supérieures.
L'ion ne fonct discuté avec symétrie demi-onde a été l'onde triangulaire et en effet les coefficients d'indices même sont égaux à zéro (comme le sont tous les termes bn en raison de la même symétrie). L'onde carrée avec 50% de cycle aurait symétrie demi-onde si elle était centrée autour de zéro (à savoir, centrée sur l'axe horizontal). Dans ce cas, le terme a0 serait nul et nous avons déjà montré que tous les termes avec même des indices sont nuls, comme prévu.
Simplifications peut également être réalisé sur la base de la symétrie quart d'onde. mais ceux-ci ne sont pas abordés ici.
Série exponentielles et la symétrie
Étant donné que les coefficients cn de Fourier Exponentielle série sont liés à la série trigonométriques par
(En supposant xT (t) est réelle), nous pouvons utiliser les propriétés de symétrie de la série trigonométriques pour trouver un et bn et donc cn.
Cependant, en plus, les coefficients de cn contiennent des symétries de leur propre. En particulier,
Étant donné que la fonction est encore, nous nous attendons à des coefficients de la série de Fourier Exponentielle pour être réelle et même (des propriétés de symétrie). De plus, nous avons déjà calculé les coefficients de la série trigonométriques. et pourrait facilement calculer ceux de la série Exponentielle. Cependant, nous faisons des premiers principes. Les coefficients de Fourier Exponentielle série sont donnés par
Nous pouvons changer les limites de l'intégration à Tp / 2 et + Tp / 2 (puisque la fonction est égale à zéro ailleurs) et procéder (la fonction est l'un dans cet intervalle, afin que nous puissions laisser tomber). Nous utilisons également le fait que le ω0 = 2π / T et l'identité d'Euler pour sinus.
La dernière étape de la dérivation est effectuée afin que nous puissions utiliser la fonction sinc () (prononcé comme « puits »). Cette fonction revient souvent dans l'analyse de Fourier.
Avec cette définition, les coefficients simplifient
En plus: le "sinc ()" fonction
La fonction sinc a plusieurs caractéristiques importantes:
Le schéma ci-dessous montre cn vs n pour plusieurs valeurs du coefficient d'utilisation, Tp / T.
Cycle de fonctionnement = 0,1. 0,25. 0.5. 0,75. 0,9
Le graphique à gauche montre le temps fonction de domaine. Si vous appuyez sur le bouton du milieu, vous verrez une onde carrée avec un rapport cyclique de 0,5 (à savoir qu'il est élevé à 50% du temps). La période de l'onde carrée est T = 2 · π ;. Le graphique représenté sur la droite les valeurs de n cn vs sous forme de cercles rouges vs n (la plus faible des deux axes horizontaux, ignorer l'axe supérieur pour le moment). La ligne bleue passe à travers l'axe horizontal chaque fois que l'argument de la fonction sinc (), n · Tp / T est un nombre entier (sauf lorsque n = 0.). En particulier, le premier passage de l'axe horizontal est donnée par n · Tp / T = 1 ou n = T / Tp (noter que ceci est un pas des valeurs entières de Tp). Il y a plusieurs éléments importants à noter que Tp est modifiée.