Transformée de Fourier Rapide
1. Digital Audio
modulation de code d'impulsion (PCM) est le type le plus commun d'enregistrement audio numérique, utilisé pour fabriquer des disques compacts et des fichiers WAV.
Dans le matériel d'enregistrement PCM, un microphone convertit les ondes sonores en une tension variable. Ensuite, un échantillon de convertisseur analogique-numérique de la tension à des intervalles de temps réguliers. Par exemple, dans un enregistrement audio de disques compacts, il y a 44100 échantillons prélevés à chaque seconde.
Les données résultant d'un enregistrement PCM est une fonction du temps. Comment cela marche-t-il?
Imaginez que vous étiez très petite et pourrait entrer dans le tambour de l'oreille de votre ami. Supposons également que vous pouvez voir les choses en mouvement très lent et que vous pouvez enregistrer la position du tambour de l'oreille une fois par 44100ème d'une seconde. Tes yeux sont si bonnes que vous pouvez remarquer 65536 positions distinctes de la surface du tambour de l'oreille comme il va et vient en réponse aux ondes sonores entrants.
Si votre ami écoute le son d'une flûte, et vous notez les positions du tambour de l'oreille que vous remarquez, alors vous auriez un enregistrement PCM numérique - une série de chiffres.
Si vous pouviez ensuite faire votre propre tambour d'oreille aller et venir conformément aux milliers de chiffres que vous aviez écrit, vous entendriez la flûte exactement comme il semblait à l'origine. Nous sommes passés de:
son riche en harmoniques fondamentales et
→ numéros
→ un son riche et harmoniques avec les fondamentaux
Pour être en mesure de convertir de la série de chiffres au son, nous devons appliquer la transformée de Fourier.
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2. Information sur les fréquences en fonction du temps
Une analogie pour le type de chose une transformée de Fourier n'est un prisme qui divise la lumière blanche en un spectre de couleurs.
La lumière blanche est composée de toutes les fréquences visibles (rouge, orange, jaune, vert, bleu, indigo et violet) mélangés (tout comme les informations sur un CD a des sons de toutes les fréquences mélangées ensemble) et le prisme les casse à part afin que nous puissions voir les fréquences séparées (un peu comme le lecteur CD se démonte les fréquences sonores afin qu'ils puissent être amplifiés et envoyés aux haut-parleurs).
Dans nos oreilles intérieures, la cochlée nous permet d'entendre des différences subtiles dans les sons qui viennent à nos oreilles. La cochlée est constitué d'une spirale de tissu rempli de liquide et des milliers de petits poils qui rétrécissent progressivement de l'extérieur de la spirale à l'intérieur. Chaque cheveu est relié à un nerf qui se nourrit dans le faisceau du nerf auditif va au cerveau. Les poils plus longs entrent en résonance avec les sons de basses fréquences et les cheveux plus courts avec des fréquences plus élevées. Ainsi, la cochlée sert à transformer le signal de pression d'air connu par le tambour d'oreille en informations de fréquence qui peut être interprété par le cerveau tonal et la texture.
La cochlée transforme les ondes sonores en signaux électriques.
La transformée de Fourier est une technique mathématique pour faire la même chose - résoudre toute fonction dans le domaine temporel en un spectre de fréquences. La transformée de Fourier rapide est une méthode pour faire ce processus très efficace.
3. La transformée de Fourier
Comme nous l'avons vu plus haut dans ce chapitre, la transformée de Fourier est basée sur la découverte qu'il est possible de prendre une fonction périodique du temps f (t) et le résoudre en un équivalent somme infinie de sinusoïdes et les ondes cosinus avec des fréquences qui commencent à 0 et l'augmentation des multiples entiers d'une fréquence de base f0 = 1 / T. où T est la période de f (t). La série infinie résultante est appelée la série de Fourier:
`F (t) = (a_0) / 2`` + sum_ (n = 1) ^ oo (a_n \ cos \ nt + b_n \ sin \ nt) `
Le travail d'un transformée de Fourier consiste à déterminer toutes les valeurs an et bn pour produire une série de Fourier, compte tenu de la fréquence de base et la fonction f (t).
Dans notre exemple CD, qui a un taux d'échantillonnage de 44100 échantillons / seconde, si la longueur de notre enregistrement est de 1024 échantillons, la quantité de temps représenté par l'enregistrement est
secondes, la fréquence de base f0 en Hz seront
Si vous traitez ces 1024 échantillons avec la FFT (Fast Fourier Transform), la sortie sera le sinus et cosinus des coefficients an et bn pour les fréquences
43. 066 Hz,
2 × 43 = 066 86. 132 Hz,
3 x 43 066 = 129. 20 Hz, etc.
Disons que nous utilisons la FFT pour traiter une série de chiffres sur un CD, dans un son.
Ainsi, la série de Fourier serait:
`F (t)` `= 1,6 / 2`` + sum_ (n = 1) 5 ^ (((- 1) ^ n) / sous-officiers \ 270.59nt` `
= 0,8 - 1,0 cos 270.59t + sin 270.59t + 0,5 cos 541.18t + 0,333 sin 541.18t - 0,333 cos 811.77t + 0,2 sin 811.77t + 0,25 + cos 1082.4t 0,14286 sin 1082.4t - 0,2 cos 1353.0t + sin 0,11111 1353,0 t +.
Voici le graphique:
Nous avons reconstruit une onde sonore à partir des données numériques alimentés à partir du CD dans le système audio du lecteur CD.