Q Qu'est-ce qu'une transformation de Fourier Qu'est-ce que ça sert, poser une Mathématicien
Physicien. Presque tous les signaux imaginables peut être décomposé en une combinaison d'ondes simples. Ce fait est la philosophie centrale derrière transformées de Fourier (Fourier était très français, alors son nom se prononce un peu bancal: « 4 E yay »).
peut être rompu Un signal complexe vers le bas en ondes simples. Cette rupture vers le bas, et combien de chaque vague est nécessaire, est la transformée de Fourier.
transformée de Fourier (FT) prennent un signal et l'exprimer en fonction des fréquences des ondes qui composent ce signal. Le son est sans doute la chose la plus facile à penser quand on parle de transformations de Fourier. Si vous pouviez voir son, il ressemblerait à des molécules d'air rebondissant très rapidement. Mais assez curieusement, quand vous entendez le son que vous n'êtes pas percevoir l'air en mouvement en arrière, au lieu que vous rencontrez son en termes de fréquences. Par exemple, quand quelqu'un joue milieu C sur un piano, vous ne vous sentez pas votre oreille secouée 261 fois par seconde (la fréquence du milieu C), vous entendez une seule tonalité. Le mouvement de tremblement de l'air est le signal, et le ton est la transformée de Fourier de ce signal.
La disposition des touches d'un piano (en bas) sont comme la transformée de Fourier du son du piano fait (en haut).
La transformée de Fourier d'une onde sonore est un moyen naturel de penser qu'il est un peu difficile de penser à une autre façon. Lorsque vous imaginez un son ou jouez d'un instrument, il est beaucoup plus facile de considérer le ton du son que le mouvement réel de l'air.
Un exemple d'une transformée de Fourier comme on le voit à l'avant d'un système de sonorisation.
En fait, lorsque le son est enregistré numériquement la force de l'onde sonore lui-même peut être enregistré (c'est ce qu'un fichier « .wav » est), mais le plus souvent ces jours-ci la transformée de Fourier est enregistrée à la place. A chaque instant une liste des points forts des différentes fréquences est « écrit » (comme dans l'image ci-dessus). Ceci est plus ou moins ce mp3 est un (avec beaucoup d'autres trucs). Ce n'est pas jusqu'à ce qu'un haut-parleur doit jouer physiquement le son que le FT est tourné en un signal sonore régulier.
Âgées techniques d'enregistrement analogique, ce type de disque vinyle, enregistrer le signal sonore d'origine et non le FT.
Sous la forme d'un FT, il est facile de filtrer le son. Par exemple, lorsque vous réglez l'égaliseur sur votre système de son, comme lors de la modification des graves ou des aigus, ce que vous faites vraiment dire est l'appareil de multiplier les différentes fréquences par différentes quantités avant d'envoyer le signal aux haut-parleurs. Ainsi, lorsque la base est tournée les basses fréquences se multiplier par une valeur plus grande que les fréquences plus élevées.
Cependant, l'acoustique ne sont que l'application la plus simple de FT de. Une image est un autre type de signal, mais contrairement à son image est un signal « deux dimensions ». Un autre type de FT peut encore être trouvé, et il est également à deux dimensions. Lorsque cela a été fait sur les ordinateurs, il a été constaté que, pour à peu près une image qui n'est pas aléatoire statique, la plupart du FT est concentrée autour des fréquences plus basses. En un mot, c'est parce que la plupart des images ne changent pas rapidement sur de petites distances (quelque chose comme « Où est Charlie? » Serait une exception), de sorte que les fréquences plus élevées ne sont pas aussi importantes. Telle est l'idée de base derrière le codage et la compression « .jpeg » (bien qu'il y ait d'autres trucs intelligents impliqués).
Une image et sa transformée de Fourier. Notez que la plupart du FT est concentrée dans le centre (basses fréquences). La suppression du FT du centre permet d'économiser beaucoup de données, et ne fait pas trop de dégâts à l'image. On appelle cela un « filtre passe-bas ».
Alors que la technologie numérique a marqué le début d'une explosion d'utilisations pour transformées de Fourier, il est loin d'être la seule utilisation. En mathématiques et la physique vous trouvez que FT de flottent dans les coulisses de tout paniquer. Toutes les vagues de temps sont impliqués dans quelque chose (ce qui est souvent), vous pouvez être sûr que transformées de Fourier ne seront pas loin derrière. Il est souvent facile de décrire quelque chose avec une vague simple et unique, comme balanciers ou une seule balle qui rebondit. Souvent (mais certainement pas toujours), il est possible de décomposer des systèmes complexes en ondes simples (ou à peu près le faire), puis de regarder comment ces ondes se comportent individuellement, puis de reconstruire le comportement du système dans son ensemble. En gros, il est facile de traiter « sin (x) » mais difficile à traiter une fonction totalement inconnu « f (x) ».
Physiciens sauter entre parler de fonctions et de leurs transformées de Fourier si souvent qu'ils voient à peine la différence. Par exemple, pour des raisons non terriblement évidentes, en mécanique quantique, la transformée de Fourier de la position d'une particule (ou quoi que ce soit vraiment) est la dynamique de cette particule. Littéralement, quand quelque chose a beaucoup d'élan et l'énergie de son onde a une fréquence élevée, et les vagues avant et en arrière beaucoup. L'application des choses de Fourier à la mécanique quantique est l'un des moyens les plus directs pour tirer le principe infâme d'incertitude de Heisenberg. FT Affichons même dans les ordinateurs quantiques, comme décrit dans cet article écrit shoddily.
Mathématiciens ont tendance à être plus excités par les propriétés mathématiques abstraites transformées de Fourier que par les propriétés plus intuitives. Beaucoup de problèmes qui sont difficiles / presque impossible de résoudre directement devenir facile après une transformée de Fourier. des opérations mathématiques sur les fonctions, telles que des dérivés ou des convolutions. devenir beaucoup plus facile à gérer de l'autre côté d'une transformée de Fourier (bien que, le plus souvent, en prenant le FT fait juste empirer les choses).
Réponse sauce. Transformées de Fourier sont bien sûr profondément mathématique. Si vous avez une fonction, f, qui se répète tous les 2π, vous pouvez l'exprimer comme une somme d'ondes sinus et cosinus comme ceci:.
Il se trouve que les années A et B sont assez faciles à trouver. Sines et ont une propriété cosinus appelée « orthogonalité ».
f (x) = sin (x) cos (2x). Le orthogonalité et Sines est une déclaration cosinus sur le fait que le mélange sinus et cosinus des différentes fréquences crée des fonctions qui sont positives exactement aussi souvent qu'ils sont négatifs (zéro en moyenne).
Maintenant, dites que vous voulez savoir ce que B3 est (par exemple). Il suffit de multiplier les deux côtés par cos (3x), et d'intégrer de 0 à 2π.
Vous pouvez le faire pour tous les A et B, ainsi et.
Profitant de l'équation d'Euler, e iθ = cos (θ) + i sin (θ), vous pouvez compresser cela en une équation:,. Il y a quelques détails importants derrière ce bit suivant, mais si vous développez la taille de l'intervalle de [0, 2π] pour (-∞, ∞) vous obtenez:
et ici, au lieu de Cn. vous avez et au lieu d'une somme que vous avez une intégrale, mais l'idée essentielle est la même. Ici, est l'honnête à Dieu de Fourier réelle transformée de f.
Si vous cherchez à une équation différentielle. alors vous pouvez résoudre beaucoup d'entre eux en utilisant assez rapidement FT de. Les dérivés deviennent multiplication par une variable lorsqu'il est passé à travers un FT. Voici comment:
L'image de sillon du disque est d'ici.
Les images Lenna sont d'ici.
L'image en haut avec les quatre scientifiques est d'ici.
Ceci est tout à fait une grande question et il est en effet assez difficile de déterminer pourquoi exactement transformées de Fourier sont importantes dans le traitement du signal. La plus simple, la main en agitant réponse, on peut fournir est qu'il est un outil mathématique extrêmement puissant qui vous permet de visualiser vos signaux dans un domaine différent, à l'intérieur duquel plusieurs problèmes difficiles deviennent très simples à analyser.
Son ubiquité dans presque tous les domaines des sciences de l'ingénieur et physique, tous pour des raisons différentes, rend d'autant plus difficile à affiner une raison. J'espère que regarder certaines de ses propriétés qui ont conduit à son adoption généralisée ainsi que quelques exemples pratiques et un tableau de bord de l'histoire pourrait comprendre un à aider son importance.
Histoire:
Pour comprendre l'importance de la transformée de Fourier, il est important de prendre du recul un peu et apprécier la puissance de la série de Fourier mis en avant par Joseph Fourier. Dans une coquille de noix, toute fonction g périodique (x) g (x) intégrable dans le domaine D = [- π, π] D = [- π, π] peut être écrite comme une somme infinie de sinus et cosinus comme
g (x) = rk = -∞∞τkeȷkx
g (x) = rk = -∞∞τkeȷkx
τk = 12π∫Dg (x) dx e-ȷkx
τk = 12π∫Dg (x) dx e-ȷkx
où eıθ = cos (θ) + ȷsin (θ) = eıθ cos (θ) + ȷsin (θ). Cette idée selon laquelle une fonction peut être décomposé en ses fréquences constitutives (à savoir dans les sinus et cosinus de toutes les fréquences) était un puissant et constitue l'épine dorsale de la transformée de Fourier.
La transformée de Fourier:
La transformée de Fourier peut être considéré comme une extension de la série de Fourier ci-dessus pour les fonctions non périodiques. Par souci d'exhaustivité et de clarté, je vais définir la transformée de Fourier ici. Si x (t) x (t) est un signal continu, intégrable, alors sa transformée de Fourier X (f) X (f) est donnée par
X (f) = ∫Rx (t) e-ȷ2πft dt, ∀f∈R
X (f) = ∫Rx (t) e-ȷ2πft dt, ∀f∈R
et la transformée inverse est donnée par
x (t) = ∫RX (f) df eȷ2πft, ∀t∈R
x (t) = ∫RX (f) df eȷ2πft, ∀t∈R
Importance dans le traitement du signal:
Tout d'abord, une transformée de Fourier d'un signal vous indique ce que les fréquences sont présentes dans votre signal et dans quelles proportions.
Exemple: Avez-vous déjà remarqué que chacun des touches numériques de votre téléphone sonne différent lorsque vous appuyez sur pendant un appel et qu'il soit le même pour chaque modèle de téléphone? C'est parce qu'ils sont composés chacun de deux sinusoïdes différents qui peuvent être utilisés pour identifier le bouton. Lorsque vous utilisez votre téléphone pour coup de poing dans les combinaisons pour naviguer dans un menu, la façon dont l'autre partie sait quelles touches vous avez appuyé est en faisant une transformée de Fourier de l'entrée et regarder les fréquences présentes.
En dehors de quelques propriétés élémentaires très utiles qui rendent les mathématiques impliquées simple, certaines des autres raisons pour lesquelles il a une telle importance répandue dans le traitement du signal sont:
La transformation de carré grandeur de la transformée de Fourier, | X (f) | 2 | X (f) | 2 nous dit instantanément combien de puissance du signal x (t) x (t) a à une ff fréquence particulière.
A partir du théorème de Parseval (plus généralement le théorème de Plancherel), nous avons
∫R | x (t) | 2 dt = ∫R | X (f) | 2 df
∫R | x (t) | 2 dt = ∫R | X (f) | 2 df
ce qui signifie que l'énergie totale dans un signal à travers tous les temps est égale à l'énergie totale dans la transformation de toutes les fréquences. Ainsi, la transformation est l'énergie de conservation.
Convolutions dans le domaine temporel sont équivalents aux multiplications dans le domaine des fréquences, à savoir donné deux signaux x (t) x (t) et y (t) y (t), et si
z (t) = x (t) ⋆y (t)
z (t) = x (t) ⋆y (t)
où ⋆⋆ désigne la convolution, la transformée de Fourier de z (t) z (t) est simplement
= Z (f) X (f) ⋅Y (f)
= Z (f) X (f) ⋅Y (f)
Pour des signaux discrets, avec le développement d'algorithmes de FFT efficaces, presque toujours, il est plus rapide à mettre en œuvre une opération de convolution dans le domaine fréquentiel que dans le domaine temporel.
Similaire à l'opération de convolution, les corrélations croisées sont également facilement mis en œuvre dans le domaine des fréquences en tant que Z (f) = X (f) * Y (f) Z (f) = X (f) * Y (f), où ** désigne le conjugué complexe.
En étant capable de diviser des signaux dans les fréquences constitutives, on peut facilement bloquer certaines fréquences sélectivement en annulant leur contribution.
235Hz qui a rendu facile pour les diffuseurs à mettre en œuvre un filtre coupe-bande pour couper le bruit incriminé. [1]
Un signal décalé (retardé) dans le domaine temporel se manifeste par un changement de phase dans le domaine fréquentiel. Bien que cela relève de la catégorie de biens élémentaires, ceci est une propriété largement utilisé dans la pratique, en particulier dans les applications d'imagerie et de tomographie,
Exemple: Lorsqu'une onde se déplace à travers un milieu hétérogène, il ralentit et accélère en fonction des variations de la vitesse de propagation des ondes dans le milieu. Ainsi, en observant un changement de phase de ce qui est prévu et ce qui est mesuré, on peut déduire le retard de dépassement de temps qui à son tour vous indique à quel point la vitesse de l'onde a changé dans le milieu. Ceci est bien sûr, une explication laïque très simplifiée, mais constitue la base pour la tomographie.
Les dérivés de signaux (dérivés N-ième trop) peuvent être facilement calculées (voir 106) en utilisant des transformées de Fourier.
eȷωt
eȷωt
et exponentielles complexes sont les fonctions propres pour les applications linéaires, systèmes temps invariantes.
Y = H [eȷωt] = Aeȷφeȷωt
Y = H [eȷωt] = Aeȷφeȷωt
Ainsi, la transformée de Fourier est un outil utile pour l'analyse des systèmes linéaires, invariables dans le temps.
traitement de signal numérique (DSP) en fonction de traitement de signal analogique (ASP)
La théorie de la transformée de Fourier est applicable indépendamment du fait que le signal est continu ou discret, tant qu'il est « gentil » et absolument intégrable. Alors oui, ASP utilise des transformées de Fourier tant que les signaux satisfont à ce critère. Cependant, il est peut-être plus courant de parler de transformées de Laplace, qui est une transformée de Fourier généralisée, en ASP. La transformée de Laplace est définie comme
X (s) = ∫∞0x (t) e-st dt, ∀s∈C
X (s) = ∫0∞x (t) e-st dt, ∀s∈C
L'avantage est que l'on est pas nécessairement réservée aux « beaux signaux », comme dans la transformée de Fourier, mais la transformation est valable que dans une certaine région de convergence. Il est largement utilisé dans l'étude / analyse / conception LC / circuits RC / LCR, qui à leur tour sont utilisés dans les radios / guitares électriques, pédales wah-wah, etc.
dit Daniel Champagne: