À transformée de Fourier (FT) - Questions et réponses - en IRM
Fourier a montré que de tout signal périodique (t) peut être écrite comme une somme d'ondes sinusoïdales avec différentes amplitudies, des fréquences et phases
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où l » a i sont des amplitudes, # 981; i « s sont des décalages de phase, et ω est la fréquence fondamentale. Les fréquences d'ordre supérieur 2w. 3ω. etc. sont appelés harmoniques. Par exemple, l'expansion de Fourier d'une onde carrée peut être écrite comme
Composition de Fourier d'une onde carrée.
(Avec l'aimable autorisation du Dr Dan Russell, Grad. Prog. Acoustique, Penn State).
Thetime signal de domaine temporel de l'onde carrée, s (t), est indiquée sur la gauche. Le soi-disant représentation de domaine de fréquence, S (ω) est représentée sur la droite. S (ω) est appelée la transformée de Fourier de s (t). En général S (ω) est une fonction à valeur complexe composé de fréquences harmoniques, les phases, et leurs amplitudes obtenues à partir de l'expansion de Fourier.
Parce qu'il est pas immédiatement évident que S (ω) ressemble à un s donné (t), je l'ai dessiné une transformée de Fourier plusieurs paires de comparaison. Notez que lorsque s (t) est étalé dans le temps, S (ω) est compact, et vice-versa. Une entrée qui mérite une attention particulière en raison de son utilisation dans la conception commune impulsion RF est la fonction sinc
dont la transformée de Fourier est une bande uniforme de fréquences, telles que celles définissant une seule tranche dans l'imagerie conventionnelle 2D MR.
Transformée de Fourier paires. Seule la partie réelle de la transformation est affichée.
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Quelques notes supplémentaires sur Fourier. Transforme
1. Les équations données pour la transformée de Fourier et transformée de Fourier inverse sont souvent écrits de façon légèrement différente en mathématiques, génie et textes de physique. Parfois, le terme 1 / 2π est associé à l'avant de transformation est partagé également sous forme de racine carrée entre les deux équations. Le signe moins dans l'exposant pour e est parfois commuté entre les deux formes. Les ingénieurs utilisent souvent la lettre « j » au lieu de « i » pour l'unité imaginaire, afin de ne pas causer de la confusion avec le symbole pour le courant électrique.
2. Représenter tout signal réel exactement, un nombre infini de composantes de fréquence doit être incluse dans sa représentation de Fourier. Il est clair que cette condition ne peut être satisfaite dans l'IRM, puisque notre mémoire de l'ordinateur est limité et un taux de digitalisation finis nous permet de goûter à seulement une bande de fréquences limitée contenues dans le signal réel. La représentation en série de Fourier d'une image MR doit donc être écourtée (tronqué) à un moment donné, ce qui donne lieu à des erreurs de caractéristique dans sa reconstruction. Ces artefacts « troncature » ou « Gibbs » font l'objet d'un contrôle qualité plus tard.
3. La représentation graphique de la transformée de Fourier comme un ensemble de fréquences et amplitudes est qu'une partie de l'image. Pour simplifier l'explication que je l'ai laissé de côté le fait que les changements de phase (Oi) correspondant à chaque fréquence doit également être inclus. C'est là l'utilisation des nombres imaginaires et la théorie du calcul variable complexe se présente sous la notation d'Euler est couramment utilisé dans la définition de la transformée de Fourier. E iωt = cos (wt) + i sin (cot). où i 2 = -1, l'unité imaginaire. Il en résulte S (ω) ayant à la fois une partie réelle et imaginaire, Re (ω) et Im (ω), où les Im (ω) termes sont tous multipliés par i. En d'autres termes, S (ω) = Re (ω) + i Im (ω). Le Φ de décalage de phase associée (ω) pour une fréquence donnée est donc
Φ (ω) = arctan [Im (ω) / Re (ω)]
En RMN précession de l'aimantation de RMN dans le sens antihoraire en vue de dessus (à savoir à partir du l'axe des x + vers l'axe des Y). Par convention, cela signifie que la fréquence angulaire (ω) est négative. L'expression Euler est souvent écrit e -iωt = cos (-ωt) + i sin (-ωt) = cos (wt) - i sin (cot) sur la base des identités cos (-x) = cos (x) et sin ( -x) = sin (x).