Les chiffres bases différentes, Le Centre Math Oxford

Lorsque nous écrivons un nombre normal (base 10), comme 5763, nous entendons la valeur:

$$ 5000 + 700 + 60 + 3 $$

ou, pour le mettre sous une forme plus révélateur:







$$ 5 \ cdot 10 ^ 3 + 7 \ cdot 10 ^ 2 + 6 \ cdot 10 ^ 1 + 3 \ cdot 10 ^ 0 $$

Remarquez, les « chiffres » de notre numéro correspondent aux coefficients des puissances de dix qui sont additionnés pour obtenir la valeur de notre numéro.

De la même manière, nous pouvons spécifier des numéros dans d'autres « bases » (en plus de 10), en utilisant différents chiffres qui correspondent aux coefficients des puissances (de la base donnée) qui doivent être additionnés pour obtenir la valeur de notre numéro.

$$ 5 \ cdot 8 ^ 3 + 7 \ cdot 8 ^ 2 + 6 \ cdot 8 ^ 1 + 3 \ cdot 8 ^ 0 = 3059 $$

De manière plus générale, le nombre « base b »

$$ d_n \ cdot b ^ + d_ \ cdot b ^ + d_ \ cdot b ^ + \ cdots + D_0 \ cdot b ^ 0 $$

Afin que chaque numéro une représentation de base b, mais pas le nombre a plus d'une telle représentation, il faut utiliser uniquement les chiffres 0 à (b-1) dans un nombre quelconque base de donnée b.

Ceci est cohérent avec la base de 10 chiffres, où nous utilisons les chiffres 0-9.

Pour des bases plus petites, nous utilisons un sous-ensemble de ces chiffres. Par exemple, dans la base 5, nous utilisons les chiffres 0-4; en base 2 (qui est aussi appelé binaire), on utilise uniquement les chiffres 0 et 1.

$$ 5AF8 = 5 \ cdot 16 ^ 3 + 10 \ cdot 16 ^ 2 + 15 \ cdot 16 ^ 1 + 8 \ cdot 16 ^ 0 = 23288 $$

Modification de la base 10 à une base différente

Une façon de convertir de la base 10 à une base différente (droite vers l'avant, mais inefficace) est de:

  1. Déterminer la puissance higest de la base qui va dans le nombre un nombre non-nul de fois.
  2. Déterminer combien de fois cette puissance peut être soustrait du nombre sans résultat étant négatif (i.e., diviser le nombre par la puissance). Écrivez ce chiffre vers le bas.
  3. Redéfinir le nombre d'être ce petit reste positif sur division par le pouvoir en question
  4. Redéfinir le pouvoir d'être la puissance divisée par la base.
  5. Retournez à l'étape 2, à moins que la puissance est maintenant moins d'un - dans ce cas, vous avez terminé.






Par exemple, pour convertir 1073 à la base 5, nous rappelons que:

Ensuite, on remarque que 5 4 = 625 est la puissance de la plus haute 5 sous 1073.

Les chiffres rouges, 13243. révèle la base 5 représentation de 1073.

Ce processus est cependant inefficace qu'il faut à la fois connaître et utiliser les différents pouvoirs de la base désirée.

Il y a une façon plus simple!

Tenez compte des vues sur la division des restes des numéros suivants par 5:

Note: la base 5 représentation vient de la lecture au large des Restes (en rouge) de bas en haut!
Dans chaque étape ci-dessus, nous sommes en train de division par 5 et en regardant aussi bien le quotient et le reste - aucune connaissance des puissances supérieures de 5 est nécessaire!

Merveilleusement, cette technique fonctionne dans une base. (Pouvez-vous expliquer pourquoi? )

Ainsi, par exemple, si nous voulions trouver la représentation binaire (base 2) de 1000, on calcule simplement ce qui suit:

Donc 1000 en binaire est 1111101000

Compter dans une autre base

Compter dans d'autres bases ne soit pas trop différente de comptage en base 10. Pour voir les similitudes, on va compter jusqu'à 41 dans la base 10 et la base 3 (comme indiqué dans le tableau ci-dessous).

Portez une attention particulière à la façon dont « 2 » dans la base 3 joue le même rôle que « 9 » dans la base 10. Il représente le dernier chiffre, vous pouvez utiliser avant d'augmenter le chiffre immédiatement à gauche.

Ajout dans une autre base

Vous pouvez ajouter dans une autre base (sans conversion en base 10) aussi longtemps que vous vous souvenez que vous « portez » lorsque vous avez une somme qui est supérieure ou égale à votre base (au lieu de supérieur ou égal à 10), et que ce que vous « portez » est le nombre de fois que vous pouvez retirer la base de votre somme.

Marchons par l'exemple. Remarquerez que

Donc, nous écrivons un 1 dans la colonne « unités » et portent un 1. Ensuite,

Donc, nous écrivons un 5 dans la colonne « des dizaines / sixteens » et portent un 1. Ensuite,

Donc, nous écrivons un C dans la colonne suivante et portent un 1. Ensuite,

Donc, nous écrivons un 9 dans la colonne suivante et portent un 1. Ensuite,

Donc, nous écrivons un B dans la colonne suivante, et nous fait.

Raccourci pour changer entre la base 2 et la base 16

Inverser le processus est tout aussi facile.

Supposons que nous voulons convertir FC7 (hexadécimal) sous forme binaire. Notez que







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